Giải thích các bước giải:
a, Nối E với F
ABCD là hình bình hành ⇒ $\left \{ {{AD ║ BC} \atop {AD = BC}} \right.$
⇒ $\left \{ {{AF ║ BE} \atop {\frac{1}{2} AD = \frac{1}{2}BC}} \right.$
⇒ $\left \{ {{AF ║ BE} \atop {AF = BE}} \right.$
⇒ ABEF là hình bình hành mà AB = AF ( vì 2AB= AD và 2 AF = AD)
⇒ ABEF là hình thoi ⇒ AE ⊥ BF (đpcm)
b, Đã chứng minh ở câu a, ta có: Tứ giác ABEF là hình thoi (đpcm)
c, ABEF là hình thoi (câu a) có BF là đường chéo ⇒ BF là phân giác của $\widehat{ABE}$
⇒ $\widehat{EBF}$ = $\frac{\widehat{ABE}}{2}$ = $60^{o}$
ABCD là hình bình hành ⇒ $\left \{ {{\widehat{BCD} = \widehat{BAD} = 60^{o} } \atop {AD ║ BC}} \right.$
Tứ giác BFDC có DF ║ BC ( vì AD ║BC) ; $\widehat{EBF}$ = $\widehat{BCD}$ = $60^{o}$
⇒ BFDC là hình thang cân (đpcm)
d, BFDC là hình thang cân (câu c) ⇒ BF = CD mà CD = AB ( vì ABCD là hình bình hành)
⇒ BF = AB = $\frac{AD}{2}$
ΔABD có: BF là trung tuyến của AD và BF = $\frac{AD}{2}$ ⇒ Δ ABD vuông tại B
⇒ $\widehat{ABD}$ = $90^{o}$ ⇒ $\widehat{MBD}$ = $90^{o}$ (1)
Ta lại có: $\left \{ {{CD = AB = MB} \atop {BM ║ CD ( vì AB ║ CD)}} \right.$
⇒ BMCD là hình bình hành mà theo (1) ⇒ BMCD là hình chữ nhật (đpcm)
e, BMCD là hình chữ nhật (câu d) có E là trung điểm của đường chéo BC
⇒ E là trung điểm của MD ( đpcm)
f, E là trung điểm của MD(câu e) ⇒ M,E,D thẳng hàng (đpcm)
