Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a) ABCD` là hình bình hành

   `=> AB////CD; AB=CD`

     Ta có: `AE=EB=1/2AB`

                 `CF=DF=1/2DC`

          mà `AB=DC(cmt)`

         `=> AE=CF=EB=DF`

Tứ giác `DEBF` có: `EB=DF(cmt)`

                              `EB////DF(AB////CD; E∈AB, F∈CD)`

              `=> DEBF` là hình bình hành

Tứ giác `AECF` có: `AE=CF(cmt)`

                             `AE////CF(AB////CD; E∈AB, F∈CD)`

          `=> AECF` là hình bình hành

`b)` Ta có: `AECF` là hình bình hành có `2` đường chéo là `EF` và `AC`

   `=>  EF` và `AC` cắt nhau tại trung điểm mỗi đường `(1)`

      Lại có: `ABCD` là hình bình hành có `2` đường chéo là `BD` và `AC`

    `=>  BD` và `AC` cắt nhau tại trung điểm mỗi đường `(2)`

Từ `(1), (2) => AC, BD, EF` đồng quy

`c) DEBF` là hình bình hành

  `=> DE////BF`

  Ta có: `\hat{NFC}=\hat{FBE}`(`2` góc so le trong do `AB////CD`)

         mà `\hat{FBE}=\hat{MEA}`(`2` góc đồng vị do `DE////BF`)

           `=> \hat{NFC}=\hat{MEA}`

Xét `ΔAME` và `ΔCNF` có:

      `\hat{NFC}=\hat{MEA}(cmt)`

       `AE=CF(cmt)`

       `\hat{FCN}=\hat{EAM}`(`2` so le trong do `AB////CD`)

   `=> ΔAME=ΔCNF(g.c.g)`

   `=> ME=FN` (`2` cạnh tương ứng)

Tứ giác `MENF` có: `ME////FN(ED////BF, M∈ED; N∈BF)`

                               `ME=FN(cmt)`

  `=> MENF` là hình bình hành

$#Ben$

Đáp án `+` Giải thích các bước giải:

a) Ta có tứ giác $ABCD$ là hình bình hành

$\Rightarrow AB=CD$ và $AB//CD$

Mà $E$ và $F$ là trung điểm của $AB$ và $CD$

$\dfrac{AB}{2}=\dfrac{CD}{2}=\Rightarrow BE=DF$

Xét tứ giác $DEBF$ có $BE//DF$ (do $AB//CD$) và $BE=DF$

$\Rightarrow$  Tứ giác DEBF là hình bình hành.

b) Gọi $AC∩BD$ tại $O$

Ta có tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$

Mà tứ giác $DEBF$ là hình bình hành nên $O$ là trung điểm của $BD$ thì $O$ cũng là trung điểm của $EF$

$\Rightarrow AC;BD;EF$ cùng đồng quy tại $O$.

c) Ta có $O$ là trung điểm của $EF$

Xét $ΔDOM$ và $ΔBON$ có:

$\widehat{DOM}=\widehat{BON}$ (đối đỉnh)

$OD=OB$

$\widehat{MDO}=\widehat{ NBO}$ (hai góc ở vị trí so le trong do $DE//BF$)

$\Rightarrow ΔDOM=ΔBON$ (g-c-g)

$\Rightarrow OM=ON$

Xét tứ giác $EMFN$ có $O$ là trung điểm của hai đường chéo $MN$ và $EF$

$\Rightarrow$  Tứ giác $EMFN$ là hình bình hành.

c. Vì DEBF là hình bình hành nên DE//BF

Suy ra ˆMEO=ˆNFOMEO^=NFO^ (so le trong)

Xét ∆ EOM và ∆ FON:

$\widehat{MEO}=$ $\widehat{NFO}$ (chứng minh trên)

OE = OF (tính chất hình bình hành DEBF)

$\widehat{MEO}=$ $\widehat{NOF}$ (đối đỉnh)

Do đó :`ΔEOM=ΔFON` `(g.c.g)` `=> OM =ON

Vậy tứ giác EMFN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)