Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\), chiều cao bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Tính góc \(\varphi \) giữa cạnh bên và mặt đáy. A.\(\varphi = 90^\circ .\) B.\(\varphi = 60^\circ .\) C.\(\varphi = 30^\circ .\) D.\(\varphi = 45^\circ .\)
Phương pháp giải: - Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó \(SG \bot \left( {ABC} \right).\) - Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó. - Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc. Giải chi tiết: Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó \(SG \bot \left( {ABC} \right).\) Khi đó ta có \(GA\) là hình chiếu của \(SA\) lên \(\left( {ABC} \right)\). \( \Rightarrow \angle \left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SA;GA} \right) = \angle SAG\). Vì tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Vì \(SG \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SG \bot AG \Rightarrow \Delta SAG\) vuông tại \(G\). \( \Rightarrow \tan \angle SAG = \dfrac{{SG}}{{AG}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}} = 1\). Vậy \(\angle SAG = {45^0}\). Chọn D.