Đáp án:
$\dfrac{128}{7\sqrt{21}}$
Giải thích các bước giải:
$SABC$ là hình chóp đều nên $ABC$ là tam giác đều giả sử cạnh là a, và các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.
Gọi $D$ là trung điểm của $BC, AO=\dfrac23.AD\Rightarrow O$ là trọng tâm của $\Delta ABC$
$\Rightarrow SO\bot (ABC)$
$\begin{cases}BC\bot AD\\BC\bot SO\end{cases}\Rightarrow BC\bot (SAD)$
Trong tam giác $SAD$ dựng $DH\bot SA\Rightarrow DH\bot BC$
$\Rightarrow d(SA, BC)=DH=\dfrac{6\sqrt7}7$
$\Delta AHD\bot H,\widehat{HAD}=60^o:\sin\widehat{HAD}=\dfrac{HD}{AD}$
$\Rightarrow AD=\dfrac{4\sqrt3}{\sqrt7}$
$\Rightarrow \dfrac{a\sqrt3}2=\dfrac{4\sqrt3}{\sqrt7}\Rightarrow a=\dfrac{8}{\sqrt{7}}$
$\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\dfrac12.a.a.\sin60^o=\dfrac{16\sqrt3}{7}$
$AO=\dfrac23.AD=\dfrac8{\sqrt{21}}$
Áp dụng hệ thực lượng vào $\Delta SAO\bot O,\widehat{SAO}=60^o$
$\Rightarrow SO=AO.\tan\widehat{SAO}=\dfrac8{\sqrt7}$
$\Rightarrow V_{SABC}=\dfrac13.SO.S_{ABC}=\dfrac{128}{7\sqrt{21}}$.
