Đáp án:
$2\left( {\sqrt {\frac{{{\pi ^2}}}{4} + 1} {\rm{\;}} - 1} \right)$
Giải thích các bước giải:
Đặt \(\sqrt {{x^2} + 1} = u \Rightarrow {x^2} + 1 = {u^2} \Rightarrow 2xdx = 2udu\)
Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow u = 1,x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow u = \sqrt {\dfrac{{{\pi ^2}}}{4} + 1} \)
Khi đó \(I = \int\limits_1^{\sqrt {\dfrac{{{\pi ^2}}}{4} + 1} } {\dfrac{{2udu}}{u}} = \int\limits_1^{\sqrt {\dfrac{{{\pi ^2}}}{4} + 1} } {2du} = \left. {2u} \right|_1^{\sqrt {\dfrac{{{\pi ^2}}}{4} + 1} } = 2\left( {\sqrt {\dfrac{{{\pi ^2}}}{4} + 1} - 1} \right)\)
