Đáp án: $d(CD, SG)=\dfrac{2a\sqrt3}{\sqrt7}$
Lời giải:
Gọi $H$ là trung điểm cạnh $AB$ của $\Delta$ đều $SAB\Rightarrow SH\bot AB$
$(SAB)\cap (ABCD)=AB,(SAB)\bot(ABCD)$
$\Rightarrow SH\bot(ABCD)$
Qua $G$ dựng đường thẳng song song với CD cắt AD tại F, BC tại E $\Rightarrow CD//(SEF)$
$\Rightarrow d(CD,AG)=d(CD,(SEF))=d(C,(SEF))=2d(H,(SEF))$
Gọi $I$ là trung điểm của $EF\Rightarrow HI\bot EF$
$EF\bot SA$
$\Rightarrow EF\bot(SHI)$
$\Delta SHI$ dựng $HK\bot SI\Rightarrow HK\bot EF$
$\Rightarrow HK\bot(SEF)\Rightarrow d(H,(SEF))=HK$
$\Delta SHI\bot H,SH=\dfrac{a\sqrt3}2,HI=a$:
$\dfrac1{HK^2}=\dfrac1{SH^2}+\dfrac1{HI^2}=\dfrac4{3a^2}+\dfrac1{a^2}=\dfrac7{3a^2}$
$\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt3}{\sqrt7}$
$\Rightarrow d(CD, SG)=\dfrac{2a\sqrt3}{\sqrt7}$.
