Đáp án:
$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}$
Giải thích các bước giải:
Vì $(SAB) ⊥ (ABC)$ nên giả sử $H$ là hình chiếu vuông góc hạ từ đỉnh $S$
$\Rightarrow H\in AB$
Ta có: `AC ⊥ AB, SH ⊥AC`
`=> AC ⊥ (SAB)`
`=> AC ⊥ SA`
`=> ΔBAC= ΔSAC` (do: AC chung; BC=SC=a) (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
`=> BA=SA`
`=> ΔSAB` cân tại A nên $\widehat{SBA}$ là góc nhọn nên $\sin \widehat{SBA}$ dương
$\begin{array}{l}
\widehat {ABC} = {30^0}\\
\Rightarrow AC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\\
\Rightarrow AB = SA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\\
\text{Trong: }\Delta SBA\\
{\rm{cos}}\widehat {SBA} = \dfrac{{S{B^2} + A{B^2} - S{A^2}}}{{2.SB.AB}}\\
= \dfrac{{{a^2}}}{{2.a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\
\Rightarrow \sin \widehat {SBA} = \sqrt {1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\\\text{ (nhận trường hợp dương, lợi trường hợp âm)}\\
\text{Trong: }\Delta SBH \bot H\\
\Rightarrow SH = SB.\sin \widehat {SBA} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\\
\Rightarrow {V_{SABC}} = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{ABC}}\\
= \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{a}{2}\\
= \dfrac{{\sqrt 2 .{a^3}}}{{24}}
\end{array}$
