- Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\), sử dụng định lí khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng này và mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia, chứng minh \(d\left( {SM;BD} \right) = d\left( {BD;\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {SMN} \right)} \right)\). - Gọi \(I = MN \cap BD\). Trong \(\left( {SOI} \right)\) kẻ \(OH \bot SI\), chứng minh \(OI \bot \left( {SMN} \right)\). - Sử dụng tính chất tam giác đều, định lí đường trung bình của tam giác, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.Giải chi tiết: Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow MN\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\) \( \Rightarrow MN//BD\). \( \Rightarrow BD//\left( {SMN} \right) \supset SM \Rightarrow d\left( {SM;BD} \right) = d\left( {BD;\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {SMN} \right)} \right)\). Gọi \(I = MN \cap BD\). Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD \Rightarrow OI \bot MN\). Trong \(\left( {SOI} \right)\) kẻ \(OH \bot SI\) ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}MN \bot OI\\MN \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow MN \bot OH\\\left\{ \begin{array}{l}OH \bot MN\\OH \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SMN} \right)} \right) = OH\end{array}\) Vì \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta BCD \Rightarrow I\) là trung điểm của \(OC\) \( \Rightarrow OI = \dfrac{1}{2}OC = \dfrac{1}{2}OA\). Lại có \(\Delta ABD\) đều cạnh \(a\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(OA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow OI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOI\) có: \(OH = \dfrac{{SO.OI}}{{\sqrt {S{O^2} + O{I^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{3a}}{4}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\sqrt {\dfrac{{9{a^2}}}{{16}} + \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}} }} = \dfrac{{3a}}{8}\). Vậy \(d\left( {SM;BD} \right) = \dfrac{{3a}}{8}\). Chọn C
