Đặt \(AB = BC = CD = DA = 2a\) và trung đoạn \(SM = d\,\,(a < d)\). Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh, tìm công thức biểu thị mối quan hệ giữa \(a\) và \(d\). Từ đó giải phương trình để tìm được \(a,\,\,d\).Giải chi tiết: Đặt \(AB = BC = CD = DA = 2a\) và trung đoạn \(SM = d\,\,(a < d)\). \( \Rightarrow {S_{xq}} = pd\)\( = \dfrac{{2a.4}}{2}.d = 4ad\) Theo đề bài ta có: \(4ad = 48 \Rightarrow ad = 12\) \(\left( 1 \right)\) Xét \(\Delta SMC\)vuông tại \(M\), ta có: \(M{C^2} + S{M^2} = S{C^2}\) (định lý Py – ta – go) Do đó, \({a^2} + {d^2} = 25\). \( \Rightarrow {a^2} + {d^2} + 2ad = 25 + 24\) \( \Rightarrow {\left( {a + d} \right)^2} = 49\)\( \Rightarrow a + d = 7\)\( \Rightarrow a = 7 - d\) Thay \(a = 7 - d\) vào \(\left( 1 \right)\)ta được: \(\begin{array}{l}\left( {7 - d} \right).d = 12\\ \Leftrightarrow 7d - {d^2} = 12\\ \Leftrightarrow {d^2} - 7d + 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {d - 3} \right)\left( {d - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d - 3 = 0\\d - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 3\\d = 4\end{array} \right.\end{array}\) Với \(d = 3 \Rightarrow a = 4\) (loại) Với \(d = 4 \Rightarrow a = 3\) (thỏa mãn) Xét \(\Delta SOM\,\,\left( {\angle O = {{90}^ \circ }} \right)\), áp dụng định lý Py-ta-go ta có: \(S{O^2} + O{M^2} = S{M^2}\) \( \Rightarrow S{O^2} = S{M^2} - O{M^2}\)\( = {d^2} - {a^2} = 16 - 9 = 7\)\( \Rightarrow h = SO = \sqrt 7 \,\,\left( {cm} \right)\) Chọn C.
