Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = 2\sqrt 3 \) và \(AA' = 2\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(A'B'\), \(A'C'\) và \(BC\). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\) bằng:A.\(\dfrac{{6\sq

mienle123

2 năm trước

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = 2\sqrt 3 \) và \(AA' = 2\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(A'B'\), \(A'C'\) và \(BC\). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\) bằng:
A.\(\dfrac{{6\sqrt {13} }}{{65}}\)
B.\(\dfrac{{\sqrt {13} }}{{65}}\)
C.\(\dfrac{{17\sqrt {13} }}{{65}}\)
D.\(\dfrac{{18\sqrt {13} }}{{65}}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 41 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

nthp282

Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:
Ta có \(\left( {MNP} \right) \equiv \left( {MNCB} \right)\).
Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(MN,\,\,B'C'\).
Dễ dàng chứng minh được \(\Delta AA'B' = \Delta AA'C'\) (hai cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow AB' = AC' \Rightarrow \Delta AB'C'\) cân tại \(A\).
\( \Rightarrow AF \bot B'C'\) (Đường trung tuyến đồng thời là đường cao).
Ta có \(MN\parallel B'C' \Rightarrow MN\parallel BC\) nên \(MNCB\) là hình thang.
Dễ dàng chứng minh được \(\Delta BB'M = \Delta CC'N\) nên \(BM = CN\).
Mà \(BM,\,\,CN,\,\,AA'\) đồng quy (Định lí 3 đường giao tuyến) nên \(MNCB\) là hình thang cân.
Lại có \(E,\,\,P\) là trung điểm của hai đáy nên \(EP \bot MN,\,\,EP \bot BC\).
Trong \(\left( {ACC'A'} \right)\) gọi \(Q = CN \cap AC'\), trong \(\left( {ABB'A'} \right)\) gọi \(P = AB' \cap BM\).
Khi đó \(\left( {AB'C'} \right) \cap \left( {MNCB} \right) = PQ\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AB'C'} \right) \supset B'C'\\\left( {MNCB} \right) \supset BC\\B'C'\parallel BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( {AB'C'} \right) \cap \left( {MNCB} \right) = PQ\parallel BC\parallel MN\).
Do đó \(PQ \bot EP\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {MNCB} \right) \cap \left( {AB'C'} \right) = PQ\\\left( {MNCB} \right) \supset EP \bot PQ\\\left( {AB'C'} \right) \supset AF \bot PQ\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {MNCB} \right);\left( {AB'C'} \right)} \right) = \angle \left( {EP;AF} \right)\)
Trong \(\left( {AB'C'} \right)\) gọi \(G = PQ \cap AF\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{AQ}}{{QC'}} = \dfrac{{AC}}{{NC'}} = 2 \Rightarrow \dfrac{{AQ}}{{AC'}} = \dfrac{2}{3}\); \(\dfrac{{AG}}{{AF}} = \dfrac{{AQ}}{{AC'}} = \dfrac{2}{3}\).
Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông ta có:
\(AB' = \sqrt {AA{'^2} + A'B{'^2}} = \sqrt {4 + 12} = 4\);
\(AF = \sqrt {AB{'^2} - B'{F^2}} = \sqrt {16 - 3} = \sqrt {13} \).
\( \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AF = \dfrac{{2\sqrt {13} }}{3}\).
Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(M,\,\,N\) trên \(BC\), ta có \(BH = KC = \dfrac{{BC - MN}}{2} = \dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông ta có:
\(BM = \sqrt {BB{'^2} + B'{M^2}} = \sqrt {4 + 3} = \sqrt 7 \).
\(MH = \sqrt {B{M^2} - B{H^2}} = \sqrt {7 - \dfrac{3}{4}} = \dfrac{5}{2} = EP\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{GP}}{{GE}} = \dfrac{{AP}}{{EF}} = 2\) \( \Rightarrow GP = \dfrac{2}{3}EP = \dfrac{5}{3}\).
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(2\sqrt 3 \) nên \(AP = \dfrac{{2\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = 3\).
Áp dụng định lí Côsin trong tam giác \(AGP\) ta có:
\(\cos \angle AGP = \dfrac{{G{A^2} + G{P^2} - A{P^2}}}{{2GA.GP}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{2\sqrt {13} }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{5}{3}} \right)}^2} - {3^2}}}{{2.\dfrac{{2\sqrt {13} }}{3}.\dfrac{5}{3}}} = - \dfrac{{\sqrt {13} }}{{65}}\).
Vậy \(\cos \angle \left( {\left( {MNCB} \right);\left( {AB'C'} \right)} \right) = \cos \angle \left( {EP;AF} \right) = \dfrac{{\sqrt {13} }}{{65}}\).
Chọn B.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho khối chóp \(S.ABC\) có các góc phẳng ở định \(S\) bằng \({60^0}\), \(SA = 1\), \(SB = 2\), \(SC = 3\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng:
A.\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{{72}}\)
B.\(\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\)
C.\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
D.\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{\dfrac{{mx + 1}}{{x + m}}}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).
A.\(m \in \left( { - 1;1} \right)\)
B.\(m \in \left[ {\dfrac{1}{2};1} \right]\)
C.\(m \in \left[ { - \dfrac{1}{2};1} \right)\)
D.\(m \in \left( {\dfrac{1}{2};1} \right)\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{1}{2}} \right\}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \dfrac{2}{{2x - 1}}\), \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( 1 \right) = 2\). Giá trị của biểu thức \(f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right)\) bằng:
A.\(4 + \ln 15\)
B.\(2 + \ln 15\)
C.\(3 + \ln 15\)
D.\(\ln 15\)

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;2; - 1} \right)\), \(B\left( {2; - 1;3} \right)\), \(C\left( { - 4;7;5} \right)\). Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\) là chân đường phân giác trong của góc \(B\) của tam giác \(ABC\). Giá trị của \(a + b + 2c\) bằng:
A.\(4\)
B.\(5\)
C.\(14\)
D.\(15\)

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {2;3;0} \right)\), \(C\left( {0;0;3} \right)\). Tập hợp các điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 23\) là mặt cầu có bán kính bằng:
A.\(3\)
B.\(5\)
C.\(\sqrt 3 \)
D.\(\sqrt {23} \)

Biết \(I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }} = \sqrt a - \sqrt b - c} \) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên dương. Giá trị \(a + b + c\) bằng:
A.\(24\)
B.\(12\)
C.\(18\)
D.\(46\)

Gieo con xúc xắc được chế tạo cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp độc lập. Gọi \(a\) là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất, \(b\) là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai. Xác suất để phương trình \({x^2} + ax + b = 0\) có nghiệm bằng:
A.\(\dfrac{{17}}{{36}}\)
B.\(\dfrac{{19}}{{36}}\)
C.\(\dfrac{1}{2}\)
D.\(\dfrac{4}{9}\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?
A.\(5\)
B.\(9\)
C.\(3\)
D.\(7\)

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = a\sqrt 3 \), \(AB = AC = 2a\), \(BC = 3a\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng:
A.\(\dfrac{{\sqrt 5 {a^3}}}{2}\)
B.\(\dfrac{{\sqrt {35} {a^3}}}{2}\)
C.\(\dfrac{{\sqrt {35} {a^3}}}{6}\)
D.\(\dfrac{{\sqrt 5 {a^3}}}{4}\)

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình \({16^x} - {2.12^x} + \left( {m - 2} \right){.9^x} = 0\) có nghiệm dương?
A.\(1\)
B.\(2\)
C.\(4\)
D.\(3\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến