Gửi em!
a) (+) $DA//BD$ $→$ $DP//BC$ $→$ BCDP là hình thang
Ta lại có: $\widehat {ADC} = {90^o}$
$→$ BCDP là hình thang vuông
(+) Xét $\Delta AMP$ và $\Delta BMC$ có:
$\left. \begin{array}{l}
AM = BM\left( {gt} \right)\\
\widehat {AMP} = \widehat {BMC} \text{(đối đỉnh)}\\
\widehat {PAM} = \widehat {CBM} = {90^o}
\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AMP = \Delta BMC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow AP = BC$
Xét tứ giác $APBC$ có:
$\left. \begin{array}{l}
AP//BC\\
AP = BC
\end{array} \right\}$ $⇒$ $APBC$ là hình bình hành
b) Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
{S_{BCDP}} = {S_{ABP}} + {S_{ABC}} + {S_{ADC}}\\
{S_{APBC}} = {A_{ABP}} + {S_{ABC}}
\end{array} \right.$
Mà $\Delta ABP = \Delta BAC = \Delta DCA$
$⇒$${S_{ABP}} = {S_{ABC}} = {S_{ACD}}$
Do đó: $\left\{ \begin{array}{l}
{S_{BCDP}} = 3{S_{ABP}}\\
{S_{APBC}} = 2{S_{ABP}}
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \dfrac{{{S_{APBC}}}}{{{S_{BCDP}}}} = \dfrac{{2{S_{ABP}}}}{{3{S_{ABP}}}} = \dfrac{3}{2}$
Vậy $2S_{BCDP} = 3S_{APBC}$
c) Ta có:
$
NC//AD\\
\Rightarrow \dfrac{{QC}}{{AQ}} = \dfrac{{NC}}{{DC}} = \dfrac{1}{2}\\
\Rightarrow \dfrac{{2QC}}{{2AQ}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{BC}}{{2AQ}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{AB}}{{AQ}} = \dfrac{1}{1} \Leftrightarrow AB = AQ
$
