Ta có:
$\begin{array}{l}
{x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + m - 3} \right)x + {m^2} - 3 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + mx + {m^2} - 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 1 = 0\\
{x^2} + mx + {m^2} - 3 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
{x^2} + mx + {m^2} - 3 = 0\,\left( * \right)
\end{array} \right.
\end{array}$
Để đồ thị hàm số tiếp xúc Ox thì phương trình (*) có nghiệm kép hoặc có một nghiệm \(x=-1\)
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\Delta = {m^2} - 4\left( {{m^2} - 3} \right) = 0\\
{\left( { - 1} \right)^2} + m.\left( { - 1} \right) + {m^2} - 3 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- 3{m^2} + 12 = 0\\
{m^2} - m - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \pm 2\\
m = 2,m = - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \pm 2\\
m = - 1
\end{array} \right.
\end{array}$
