`1)` Ta có :
`\hat{AOM}` và `\hat{BOM}` kề bù nên : `\hat{EOP}` `=` `90^o`
`2)` Ta có :
`EA` , `EM` là hai tiếp tuyến của đường tròn `(O)` cắt nhau ở `E` nên `OE` là phân giác của `AOM`
CMTT: `=>` `OF` là phân giác của `\hat{BOM}`
Ta có :
`\hat{EAO}` `=` `\hat{EMO}` `=` `90^o`
Tứ giác `AEMO` có `\hat{EAO}` `+` `\hat{EMO}` `=` `180^o`
`=>` Tứ giác `AEMO` là một tứ giác nội tiếp
Xét `Δ` `MAB` và `Δ` `OEF` có
`\hat{AMB}` `=` `\hat{EOF}` `=` `90^o`
`\hat{MAO}` `=` `\hat{MEO}` `(` cùng chắn cung `MO` của đường tròn ngoại tiếp tứ giác `AEMO` `)`
`=>` Tam giác `MAB` và tam giác `OEF` đồng dạng `(g.g)`
`3)` Ta có :
Tam giác `AEK` có `AE` // `FB` nên $\dfrac{AK}{KF}$ `=` $\dfrac{ME}{MF}$
Mà `AE=ME` và `BF=MF` (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
`=>` $\dfrac{AK}{KF}$ `=` $\dfrac{ME}{MF}$
Vì vậy, `MK` // `AE` `(` định lý đảo của định lý Ta - lét `)`
Lại có: `AE` `⊥` `AB` `(` gt `)`
`=>` `MK` `⊥` `AB` `(` đpcm `)`
`4)` Gọi `N` là giao điểm của `MK` và `AB`
`=>` `MN` `⊥` `AB`
`ΔFEA` có `MK` // `AE`
nên $\dfrac{MK}{AE}$ `=` $\dfrac{FK}{FA}$ `(1)`
`ΔBEA` có `NK` // `AE` nên $\dfrac{NK}{AE}$ `=` $\dfrac{BK}{BE}$ `(2)`
Mà $\dfrac{FK}{KA}$ `=` $\dfrac{BK}{KE}$ `(` do `BF` // `AE` `)`nên $\dfrac{FK}{KA+FK}$ `=` $\dfrac{BK}{BK+KE}$ hay $\dfrac{FK}{FA}$ `=` $\dfrac{BK}{BE}$ `(3)`
Từ `(1)` , `(2)` , `(3)` `=>` $\dfrac{MK}{AE}$ `=` $\dfrac{KN}{AE}$
Nên `MK` `=` `NK`
Tam giác `AKB` và tam giác `AMB` có chung đáy `AB` nên $\dfrac{Sakb}{Samb}$ `=` $\dfrac{KN}{MN}$ `=` $\dfrac{1}{2}$
Do đó : `Sakb` `=` $\dfrac{1}{2}$ `Samb`
Tam giác `AMB` vuông ở `M` nên `A` `=` $\dfrac{MB}{MA}$ `=` $\sqrt{3}$
`=>` `\hat{MAB}` `=` `60^o`
Vậy `AM` `=` $\dfrac{a}{2}$ và `MB` `=` $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
`=>` `Sakb` `=` $\dfrac{1}{2}$ .$\dfrac{1}{2}$.$\dfrac{a}{2}$.$\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ `=` $\dfrac{1}{16}$ $a^{2}$ $\sqrt{3}$
