Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
1) Tính: \(\frac{{A{D^3}}}{{BE.CF}}\) theo R và chứng minh H, E, F thẳng hàng.
Ta có: \(\angle BAC\, = \,\angle DAE = \angle AFD = {90^0}\) (các góc nội tiếp chắn các nửa đường tròn).
Áp dụng hệ thức lượng trong các \(\Delta ABC,\,\,\Delta ADB,\,\,\Delta ADE\) vuông tại \(D\) ta có:
\(\begin{array}{l}AB.AC = AD.BC\\BD.CD = A{D^2}\\BE.AB = B{D^2}\\CF.AC = C{D^2}\\ \Rightarrow BE.CF.AB.AC = {\left( {BD.CD} \right)^2} = A{D^4}\\ \Rightarrow AB.AC = \frac{{A{D^4}}}{{BE.CF}}\\ \Rightarrow \frac{{A{D^3}}}{{BE.CF}} = \frac{{AB.AC}}{{AD}} = AD.\frac{{BC}}{{AD}} = BC = 2R.\end{array}\)
Gọi \(I\)  là trung điểm của \(AD\)  thì  \(E,\,\,I,\,\,F\) thẳng hàng. (do \(AEDF\) là hình chữ nhật).
Xét đường tròn tâm \(I,\) đường kính \(AD\) ta có: \(IG = IA = \frac{{AD}}{2}.\)
Xét đường tròn tâm \(O,\) đường kính \(BC\) ta có: \(OG = OA = \frac{{BC}}{2}.\)
\( \Rightarrow OI\) là đường trung trực của \(AG.\) (tính chất đường trung trực)
\( \Rightarrow OI \bot AH.\)
Lại có \(AI \bot OH \Rightarrow I\) là trực tâm \(\Delta AOH \Rightarrow IH \bot OA\)
\( \Rightarrow H,\,\,E,\,\,F\) thẳng hàng. (đpcm)
2) Chứng minh: FG. FH + GH. CF = CG. HF.
Ta có: \(\angle AGD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét \(\Delta AGD\) và \(\Delta ADH\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle A\,\,chung\\\angle AGD = \angle ADH = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta AGD \sim \Delta ADH\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle ADG = \angle AHD\) (các góc tương ứng)
Lại có: \(\angle AFG = \angle ADG\)  (các góc nội tiếp cùng chắn cung AG)
\( \Rightarrow \angle AFG = \angle AHD = \angle AHC\left( { = \angle ADG} \right)\)
\( \Rightarrow GFCH\) là tứ giác nội tiếp.  (góc trong tại một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)
Gọi \(J\) là một điểm trên \(GC\) sao cho \(\angle GFJ = \angle HFC.\) Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta GFJ \sim \Delta HFC\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{GJ}}{{HC}} = \frac{{FG}}{{FH}} \Rightarrow FG.HC = GJ.FH\\\Delta GFH \sim \Delta JFC\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{GH}}{{JC}} = \frac{{FH}}{{FC}} \Rightarrow GH.FC = FH.JC\\ \Rightarrow FG.CH + GH.CF = FH\left( {GJ + JC} \right) = FH.CG\end{array}\)
Đây chính là định lý Ptoleme.
Vậy \(FG.FH + GH.CF = CG.HF.\)
3) Trên BC lấy M cố định, gọi N, P lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB và MAC. Xác định vị trí của A để diện tích tam giác MNP nhỏ nhất.

Ta có: \(\Delta MNP = \Delta ANP\,\,\left( {c - c - c} \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta MNP \sim \Delta ABC\,\,\left( {g - g} \right)\\\Delta ANP \sim \Delta ABC\,\,\left( {g - g} \right)\end{array} \right.\)
 Lại có \(AM\)  là đường cao của \(\Delta ANP.\)
Từ đây ta suy ra diện tích tam giác MNP nhỏ nhất khi và chỉ khi NP nhỏ nhất..
Mặt khác: \(\frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{AL}}{{AD}} = \frac{1}{2}\frac{{AM}}{{AD}}\)
\(\frac{{AM}}{{AD}}\) nhỏ nhất khi D trùng M hay A là giao điểm của đường thẳng qua M vuông góc với BC với nửa đường tròn (O, R).