Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) ta có:
\(\frac{1}{2}{{x}^{2}}=(m-4)x+m+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2(m-4)x-2m-2=0\,\,\,(*)\)
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
\(\begin{align} & \Leftrightarrow \Delta '>0 \\ & \Leftrightarrow {{(m-4)}^{2}}-(-2m-2)>0 \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+16+2m+2>0 \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m+18>0 \\ & \Leftrightarrow {{(m-3)}^{2}}+9>0\,\,\,\,\forall m \\ \end{align}\)
Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Áp dụng định lí Vi-ét, ta có:
\({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2(m-4)\,\,;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2m-2.\) Mà \({{y}_{1}}=(m-4){{x}_{1}}+m+1\,\,;\,\,{{y}_{2}}=(m-4){{x}_{2}}+m+1\) Ta có: \(\begin{align} & {{y}_{1}}+{{y}_{2}}=(m-4){{x}_{1}}+m+1+(m-4){{x}_{2}}+m+1 \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(m-4)({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+2m+2 \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(m-4).2(m-4)+2m+2 \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2{{(m-4)}^{2}}+2m+2 \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ \,=2{{m}^{2}}-14m+34 \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2({{m}^{2}}-7m+17) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2\left( {{m}^{2}}-2.\frac{7}{2}m+\frac{49}{4}+\frac{19}{4} \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2{{\left( m-\frac{7}{2} \right)}^{2}}+\frac{19}{2}\ge \frac{19}{2} \\ & \Rightarrow Min\,({{y}_{1}}+{{y}_{2}})=\frac{19}{2}\Leftrightarrow m=\frac{7}{2}. \\ \end{align}\)
Chọn C.
