Cho phương trình: \({x^2} + x + m - 1 = 0\) , với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn nghiệm này gấp đôi nghiệm kia? A.\(m = - \frac{{11}}{9}\) B.\(m = - \frac{1}{9}\) C.\(m = \frac{1}{9}\) D.\(m = \frac{{11}}{9}\)
Đáp án đúng: D Giải chi tiết:Để phương trình: \({x^2} + x + m - 1 = 0\) có nghiệm thì : \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 1 - 4m + 4 \ge 0 \Leftrightarrow 5 - 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \frac{5}{4}.\) Với \(m \le \frac{5}{4}\) thì phương trình có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) . Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 1\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = m - 1\left( 2 \right)\end{array} \right.\) Theo đề bài ta có: \({x_1} = 2{x_2}\), thay vào (1) ta có: \(2{x_2} + {x_2} = - 1 \Leftrightarrow {x_2} = - \frac{1}{3} \Rightarrow {x_1} = \frac{{ - 2}}{3}\) Thay vào (2) ta có: \(\frac{{ - 1}}{3}.\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right) = m - 1 \Leftrightarrow m = \frac{{11}}{9}\,\,\,\left( {tm} \right).\) Vậy với \(m = \frac{{11}}{{19}}\) thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn. Chọn D.