Đáp án đúng: D Giải chi tiết:Đặt \(z = a + bi\, \Rightarrow \overline z = a - bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 2 - 3i} \right| \le 5\\\left| {\dfrac{{z + 5 - 4i}}{{\overline z - 2 + 3i}}} \right| \le 1\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} \le 25\\{\left( {a + 5} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} \le {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} \le 25\\7a - b + 14 \le 0\end{array} \right.\). \( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là giao của miền trong của đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {2;3} \right)\), bán kính \(R = 5\) và phần nằm bên phải đường thẳng \(d:\,\,7x - y + 14 = 0\) (hình bên dưới).
Ta có: \(P = {x^2} + {y^2} + 10x - 6y \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 10x - 6y - P = 0\) là đường tròn tâm \(J\left( { - 5;3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {34 + P} \). Ta có \(A\left( { - 1;7} \right),\,\,B\left( { - 2;0} \right)\). Để biểu thức \(P\) đạt GTLN và GTNN thì \(\left( {J;R} \right)\) phải có điểm chung với phần gạch chéo, nên đường tròn \(\left( {J;R} \right)\) (đường tròn nét đứt) phải nằm giữa \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\). Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tiếp túc với \(\left( C \right)\) nên có bán kính \({R_1} = IJ - 5 = 2\). Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có bán kính \({R_2} = JA = \sqrt {{4^2} + {4^2}} = 4\sqrt 2 \). \( \Rightarrow 2 \le \sqrt {34 + P} \le 4\sqrt 2 \Leftrightarrow - 30 \le P \le - 2\). \( \Rightarrow M = - 2,\,\,m = - 30\). Vậy \(M + m = - 2 + \left( { - 30} \right) = - 32\). Chọn D
