Vì BI là đường phân giác trong của tam giác ABM nên ta có :
\(\dfrac{AB}{BM}=\dfrac{AI}{IM}\Rightarrow\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{AB}{AB+BM}\)(1)
Vì CI là đường phân giác trong của tam giác ACM nên ta có :
\(\dfrac{AC}{CM}=\dfrac{AI}{IM}\Rightarrow\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{AC}{AC+CM}\)(2)
Từ (1) và (2) , ta suy ra :
\(\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{AB}{AB+BM}=\dfrac{AC}{AC+CM}=\dfrac{AB+AC}{AB+BM+AC+CM}=\dfrac{AB+AC}{AB+BC+CA}\)
Chứng minh tương tự ta có :\(\dfrac{BI}{BN}=\dfrac{AB+BC}{AB+BC+CA}\)
\(\dfrac{CI}{CP}=\dfrac{BC+CA}{AB+BC+CA}\)
Do đó :\(\dfrac{AI.BI.CI}{AM.BN.CP}=\dfrac{\left(AB+AC\right)\left(AB+BC\right)\left(CA+BC\right)}{\left(AB+BC+CA\right)^3}\)
Đặt AB=a(a>o);BC=b(b>0);CA=c(c>0)
Khi đó :\(\dfrac{AI.BI.CI}{AM.BN.CP}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+c\right)^3}\le\dfrac{\dfrac{\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]^3}{27}}{\left(a+b+c\right)^3}=\dfrac{\dfrac{8}{27}\left(a+b+c\right)^3}{\left(a+b+c\right)^3}=\dfrac{8}{27}\)(AM-GM )
Dấu "=" xảy ra khi :a=b=c
\(\Leftrightarrow AB=BC=CA\)
\(\Leftrightarrow\Delta ABC\) đều
