Đáp án:
`a,`
Trên tia đối của `AD` lấy `H` sao cho `AD = DH`
$\\$
Xét `ΔBDA` và `ΔCDH` có :
`hat{BDA} = hat{CDH}` (2 góc đối đỉnh)
`AD = DH` (cách dựng)
`BD = CD` (Do `AD` là đường trung tuyến)
`-> ΔBDA = ΔCDH` (cạnh - góc - cạnh)
`-> AB = CH` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔACH` có :
`CH + AC > AH`
mà `AB =CH` (chứng minh trên), `AD = 2AH` (Do `AD = DH`)
`-> AB + AC > 2AD`
`-> AD < (AB + AC)/2`
$\\$
$\\$
$b,$
Xét `ΔABC` có :
`AD` là đường trung tuyến
`CF` là đường trung tuyến
`BE` là đường trung tuyến
`AD,CF,BE` cắt nhau tại `G`
`-> G` là trọng tâm của `ΔABC`
`->` \(\left\{ \begin{array}{l}BG = \dfrac{2}{3}BE\\CG=\dfrac{2}{3}CF\end{array} \right.\)
$\\$
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔBGC` có :
`BG + GC > BC`
mà \(\left\{ \begin{array}{l}BG = \dfrac{2}{3}BE\\CG=\dfrac{2}{3}CF\end{array} \right.\)
`-> 2/3 BE + 2/3 CF > BC`
`-> 2/3 (BE + CF) > BC`
`-> BF + CE > 3/2BC`
$\\$
$\\$
$c,$
Chứng minh tương tự như ý `b,` có :
$\bullet$ \(\left\{ \begin{array}{l}BE + CF > \dfrac{3}{2}BC\\BE + AD > \dfrac{3}{2}AB\\CF+ AD > \dfrac{3}{2}AC\end{array} \right.\)
Cộng theo vế ta được :
`BE + CF + BE + AD + CF + AD > 3/2 BC + 3/2 AB + 3/2AC`
`-> 2BE + 2CF + 2AD > 3/2 (AB + AC + BC)`
`-> 2 (BE + CF + AD) > 3/2 (AB + AC + BC)`
`-> BE + CF + AD > 3/4 (AB + AC + BC)` `(1)`
$\\$
Chứng minh tương tự như ý `a,` có :
$\bullet$\(\left\{ \begin{array}{l}2AD < AB + AC\\2CF < BC + AC\\2BE < AB + AC\end{array} \right.\)
Cộng theo vế ta được :
`2AD + 2CF + 2BE < AB + AC + BC + AC + AB + AC`
`-> 2AD + 2CF + 2BE < 2AB + 2AC + 2BC`
`-> 2 (AD + CF + BE) < 2 (AB + AC + BC)`
`-> AD +BE + CF < AB + AC + BC` `(2)`
$\\$
Từ `(1), (2)`
`-> 3/4 (AB + AC + BC) < AD + BE + CF < AB + AC + BC`
