a)Ta có: $\widehat{ABM}+\widehat{ABC}=180^o$
$\widehat{ACN}+\widehat{ACB}=180^o$
Mà $\Delta ABC$ cân đỉnh A nên $\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ (cùng cộng với hai góc bằng nhau bằng 180$^o$)
Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACN$ có:
$AB=AC$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh A)
$\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ (cmt)
$BM=CN$ (giả thiết)
$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta ACN$ (c.g.c)
$\Rightarrow Am=AN$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow \Delta AMN$ cân đỉnh A (đpcm)
b) $\Delta ABM=\Delta ACN\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{NAC}$ (hai góc tương ứng)
hay $\widehat{HAB}=\widehat{KAC}$
Xét $\Delta$ vuông $ HAB $ và $\Delta$ vuông $ KAC$ có:
$AB=AC$ (giả thiết)
$\widehat{HAB}=\widehat{KAC}$ (cmt)
$\Rightarrow \Delta HAB=\Delta KAC$ (ch-gn)
$\Rightarrow BH=CK$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm)
c) $AH=AK$ (hai cạnh tương ứng)
d) Xét $\Delta$ vuông $ AOH$ và $\Delta$ vuông $ AOK$ có:
$AH=AK$ (cmt)
AO chung
$\Rightarrow \Delta AOH$ và $\Delta AOK$ (ch-cgv)
$\Rightarrow OH=OK$ mà $BH=BK$ (cmt)
$\Rightarrow OH-BH=OK-CK$
$\Rightarrow OB=OC\Rightarrow \Delta OBC$ cân đỉnh O
e) $\Delta ABC$ cân đỉnh A lại có $\widehat{BAC}=60^o$ nên $\Delta ABC$ đều
Ta có: $\widehat{ABM}+\widehat{ABC}=180^o$
$\Rightarrow \widehat{ABM}=180^o-\widehat{ABC}=180^o-60^o=120^o$
$\Delta ABM$ cân đỉnh $B$ (BM=BA=BC)
$\Rightarrow \widehat{BMA}=\widehat{BAM}=\dfrac{180^o-\widehat{ABM}}{2}$
$=\dfrac{180^o-120^0}{2}=30^o$
$\Delta OBC$ khi đó là tam giác đều vì $\Delta OBC$ cân đỉnh O có thêm $\widehat{OBC}=\widehat{HBM}=90^o-\widehat{BMA}=90^o-30^o=60^o$.
