a) Xét $(O,R)$ đường kính $BC$ có
$\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^o$
Tứ giác $AFHE$ có $\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=180^o$
`=>AEFH` thuộc đường tròn đường kính `(AH)`
Tâm `I` là trung điểm của ` AH`.
b) Xét `ΔAHE` và `ΔBHD` có:
$\widehat{AEH}=\widehat{ BDH}=90^o$
$\widehat{ AHE}=\widehat{ BHD}$ (đối đỉnh)
$\Rightarrow ΔAHE\simΔBHD$ (g-g)
$\Rightarrow\dfrac{HE}{HD}= \dfrac{HA}{HB}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
Mà $HA=2HI$
`=> HE.HB=2HD.HI`
c) Tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AH)$ chứng minh câu a
$\Rightarrow IE=IH=R\Rightarrow\Delta IEH$ cân đỉnh $I$
$\Rightarrow\widehat{IEH}=\widehat{IHE}$
$\widehat{IHE}=\widehat{BHD}$ (đối đỉnh)
Từ hai điều trên $\Rightarrow\widehat{IEH}=\widehat{BHD}$
$\widehat{HEO}=\widehat{HBD}$ (do $\Delta OEB$ cân đỉnh O)
$\Rightarrow\widehat{IEO}=\widehat{IEH}+\widehat{HEO}=\widehat{BHD}+\widehat{HBD}=90^o$ (do $\Delta DHB\bot D$)
$\Rightarrow IE\bot EO\Rightarrow IE$ là tiếp tuyến của $(O)$.
Chứng minh tương tự
$\widehat{IFH}=\widehat{IHF}=\widehat{DHC}$
$\widehat{HFO}=\widehat{OCH}$
$\Rightarrow\widehat{IFO}=\widehat{DHC}+\widehat{OCH}=90^o$
$\Rightarrow IF\bot FO\Rightarrow IF$ là tiếp tuyến của $(O)$
