Giải thích các bước giải:
a.Vì $\Delta ABM,\Delta ACN$ vuông cân tại $A\to AM\perp AB, AN\perp AC, AM=AB, AN=AC$
Xét $\Delta AMC, \Delta ABN$ có:
$AM=AB$
$\widehat{MAC}=90^o+\widehat{BAC}=\widehat{BAN}$
$AC=AN$
$\to\Delta AMC=\Delta ABN(c.g.c)$
$\to \widehat{AMC}=\widehat{ABN}$
Gọi $AB\cap MC=D, BN\cap CM=E$
$\to \widehat{AMD}=\widehat{DBE}$
Lại có $\widehat{ADM}=\widehat{BDE}$ (Đối đỉnh)
$\to \widehat{DEB}=180^o-\widehat{DBE}-\widehat{BDE}=180^o-\widehat{DMA}-\widehat{MDA}=\widehat{MAD}=90^o$
$\to DE\perp EB\to CM\perp BN$
b.Trên tia đối của tia $HA$ lấy điểm $K$ sao cho $HA=HK$
Xét $\Delta HAB,\Delta HCK$ có:
$HA=HK$
$\widehat{AHB}=\widehat{CHK}$ (đối đỉnh)
$HB=HC$ vì $H$ là trung điểm $BC$
$\to \Delta HAB=\Delta HKC(c.g.c)$
$\to AB=CK,\widehat{HAB}=\widehat{HKC}\to AB//CK$
Mà $AB=AM\to CK=AM$
Mặt khác $\widehat{ACK}=180^o-\widehat{BAC}$ vì $AB//CK$
$\to \wideaht{ACK}=360^o-90^o-90^o-\widehat{BAC}=\widehat{MAN}$
Xét $\Delta AMN,\Delta CKA$ có:
$AM=CK$
$\widehat{MAN}=\widehat{ACK}$
$AN=AC$
$\to\Delta AMN=\Delta CKA(c.g.c)$
$\to MN=AK=2AH$
$\to AH=\dfrac12MN$
