Ta có: $OD\perp BC$ (gt)
Mà $OD\perp DM$ (vì $DM$ là tiếp tuyến tại $D$ của $(O)$)
`=>DM`//$BC$
`=>DM`//$CF$
Xét $∆CFK$ có $DM$//$CF$
`=>{DM}/{CF}={MK}/{CK}` (hệ quả định lý Talet) $(1)$
$\\$
$OD\perp BC$ tại $I$
`=>I` là trung điểm $BC$ (đường nối tâm vuông góc tại trung điểm dây cung)
`=>OD` là đường trung trực của $BC$
`=>BD=CD`
`=>\stackrel\frown{BD}=\stackrel\frown{CD}` (liên hệ dây và cung)
Ta có:
`\hat{AEC}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{AC}-sđ\stackrel\frown{BD})`
`\hat{AKC}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{AC}-sđ\stackrel\frown{CD})`
Mà `\stackrel\frown{BD}=\stackrel\frown{CD}`
`=>\hat{AEC}=\hat{AKC}`
`=>`Tứ giác $ACKE$ có hai đỉnh kề nhau $E$ và $K$ cùng nhìn cạnh $AC$ dưới hai góc bằng nhau
`=>ACKE` nội tiếp
`=>\hat{CEK}=\hat{CAK}` (cùng chắn cung $CK$)
Vì `\hat{CAK}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CD}=\hat{CDM}`
`=>\hat{CEK}=\hat{CDM}`
Mà `\hat{CEK}` và `\hat{CDM}` ở vị trí đồng vị
`=>DM`//$EK$
Xét $∆CEK$ có: $DM$//$EK$
`=>{DM}/{EK}={CM}/{CK}` (hệ quả định lý Talet)$(2)$
Từ `(1);(2)=>{DM}/{CF}+{DM}/{EK}={MK}/{CK}+{CM}/{CK}`
`<=>DM. (1/{CF}+1/{EK})={MK+CM}/{CK}={CK}/{CK}=1`
`<=>1/{EK}+1/{CF}=1/{DM}` (đpcm)
