A B Co C1 O A1 Ao C B1 Bo H
Đặt \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OH}\)
Ta sẽ chứng minh \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{O}\)
Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là hình chiếu của A, B, C ( cũng là hình chiếu của H) trên các đường thẳng BC, CA, AB và gọi Ao, Bo, Co theo thứ tự là trung điểm BC, CA, AB (như hình vẽ)
Chiếu vectơ \(\overrightarrow{u}\) lên đường thẳng BC theo phương của \(\overrightarrow{AH}\) ta được
\(\overrightarrow{u_a}=\overrightarrow{A_oA_1}+\overrightarrow{A_oB}+\overrightarrow{A_oC}-\overrightarrow{A_oA_1}=\overrightarrow{O}\)
Suy ra \(\overrightarrow{u}\) cùng phương với \(\overrightarrow{AH}\) (1)
Tương tự như vậy,
ta cũng có \(\overrightarrow{u}\) cùng phương với \(\overrightarrow{BH,}\overrightarrow{CH}\) (2)
Từ (1) và (2) và do các vectơ \(\overrightarrow{AH,}\), \(\overrightarrow{BH},\overrightarrow{CH}\) đôi một không cùng phương suy ra \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{O}\)
Vậy \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}\)
Nhưng \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}\) nên \(\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}\)
Do đó G, H, O thẳng hàng
