a) Do D đối xứng với M qua I nên I là trung điểm MD và $AI \perp MD$.
Do đó tam giác AMD cân tại A, suy ra AM = MD.
CMTT ta có BM = BD.
Xét tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên AM = MB = MC
Xét tứ giác AMBD có AD =AM = MB = BD. Do đó tứ giác này là hình thoi.
b) Do MH//AB và $AB \perp AC$ nên $MH \perp AC$.
Xét tứ giác AIMH có $\widehat{MIA} = \widehat{IAH} = \widehat{AHM} = 90^{\circ}$.
Vậy tứ giác AIMH là hình chữ nhật, suy ra AI = MH.
c) Áp dụng Pytago ta có
$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 81 + 144 = 225$
Vậy $BC = 15$.
Suy ra AM = MB = MC = 7,5 (cm).
Xét tam giác vuông ABC có
$\sin(\widehat{ABC}) = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}$
Lại có
$\sin(\widehat{ABC}) = \dfrac{MI}{MB} = \dfrac{MI}{7,5} = \dfrac{4}{5}$
Vậy $MI = 6$ (cm)
CMTT ta có $MH = 4,5$ (cm).
Vậy
$S_{AIMH} = MI.MH = 6.4,5 = 27 (cm^2)$.
