a) Xét tứ giác ABDN, có:
AB//DN(N\(\in\) đường thẳng đi qua D và // với AB)
\(\Rightarrow\)ABDN là hình thang
Mà \(\widehat{BAN}=90^o\)
\(\Rightarrow\) ABDN là hình thang vuông
b)Xét \(\Delta ADC\), có:
\(DN\perp AC\)(DN//AB mà AB\(\perp\)AC)
\(CH\perp AD\)
Mà M là giao điểm của DN và CH
Do đó: M là trực tâm của \(\Delta ACD\)
c) Ta có
+AH=HD (gt)
=> CH là đường trung tuyến
+ CH là đường cao của △ADC
=> △ADC cân tại C
=> M là trọng tâm
=> \(HM=\dfrac{1}{3}HC\) (3)
và \(MC=\dfrac{2}{3}HC\)
=> \(MI+MC=\dfrac{2}{3}HC\)
mà MI=MC
=> MI=MC=\(\dfrac{2}{3}HC:2=\dfrac{1}{3}HC\)(4)
từ (3) và (4) ta có HM=MI
vì △ACD cân
=> AK là đường phân giác
=> \(\widehat{HAM}=\widehat{MAN}\)
* xét △ HAM và NAM có
\(\widehat{H}=\widehat{N}=\left(90^0\right)\)
AM cạnh chung
\(\widehat{HAM}=\widehat{NAM}\left(cmt\right)\)
=> △HAM = △NAM (ch-gn)
=> HM =NM
* xét △HNI có
HM=NM
HM =IM
=> △HNI vuông tại A (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông)
=> IN ⊥HN
=> \(\widehat{HNI}=\left(90^0\right)\)
