a) Có: ΔABC vuông tại A(gt) ⇒ AB ⊥ AC tại A (gt)
⇒ `\hat{BAC}` = $90^{o}$
Lại có: AH là đường cao ΔABC (gt) ⇒ AH ⊥ BC tại H
⇒ `\hat{AHB}` = `\hat{AHC}` = $90^{o}$
+ Xét ΔABC và ΔHBA có:
`\hat{ABC}` chung
`\hat{BAC}` = `\hat{BHA} ` = $90^{o}$
⇒ ΔABC $\backsim$ ΔHBA (g-g)
+ Xét ΔABC và ΔHAC có:
`\hat{ACB}` chung
`\hat{BAC}` = `\hat{AHC}` = $90^{o}$
⇒ ΔABC $\backsim$ ΔHAC (g-g)
+ Có: $\left.\begin{matrix} ΔABC \backsim ΔHBA (cmt)\\ΔABC \backsim ΔHAC (cmt)\\ \end{matrix}\right\}⇒ΔHBA \backsim ΔHAC$ $\text{(tính chất bắc cầu của tam giác đồng dạng)}$
b) + Xét ΔABC vuông tại A (gt) có:
$AB^{2}$ + $AC^{2}$ = $BC^{2}$ $\text{(định lý Pytago)}$
T/số: $6^{2}$ + $8^{2}$ = $BC^{2}$
⇒ $BC^{2}$ = $100^{}$
$\text{BC = 10 (cm) (vì BC > 0) }$
+ Có: ΔABC $\backsim$ ΔHAC (cmt) có:
$\dfrac{AB}{HA}$ = $\dfrac{BC}{AC}$ (cặp cạnh tương ứng)
T/số: $\dfrac{6}{HA}$ = $\dfrac{10}{8}$
⇒ HA = $\dfrac{6.8}{10}$
HA = 4,8 (cm)
c, + Có: ΔABC $\backsim$ ΔHBA (cmt)
⇒ $\dfrac{AB}{HB}$ = $\dfrac{BC}{BA}$ (cặp cạnh tương ứng)
⇒ $AB^{2}=$ $HB^{}.$ $BC^{}$
+ Có: ΔABC $\backsim$ ΔHAC (cmt):
⇒ $\dfrac{AC}{HC}=$ $\dfrac{BC}{AC}$ (cặp cạnh tương ứng)
⇒ $AC^{2}=$ $HC^{}.$ $BC^{}$
+ Có: $AB^{2}+$ $AC^{2}$
$= HB.BC^{}+$ $HC.BC^{}$
$= BC.(HB + HC)^{}$
$= BC . BC^{}$
$= BC^{2}$
⇒ $AB^{2}+$ $AC^{2}=$ $BC^{2}$
+ Có: ΔHBA $\backsim$ ΔHAC (cmt)
⇒ $\dfrac{HA}{HC}$ = $\dfrac{HB}{HA}$ (cặp cạnh tương ứng)
⇒ $AH^{2}=$ $HC.HB^{}$
+ Có: ΔABC vuông tại A (gt)
⇒ $S_{ABC}=$ $\dfrac{1}{2}AB.AC$ (1)
Lại có: ΔABC vuông tại A có AH là đường cao (gt)
⇒ $S_{ABC}=$ $\dfrac{1}{2}.BC$ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ $S_{ABC}=$ $\dfrac{1}{2}AB.AC$ = $S_{ABC}=$ $\dfrac{1}{2}AH.BC$
⇔ $\text{AB.AC = AH.BC (Đpcm)}$
+ Cách 1: Có: $\text{AB.AC = AH.BC (cmt)}$
⇒ $(AB.AC)^{2}=$ $(AH.BC)^{2}$
⇒ $AB^{2}.AC^2=$ $AH^{2}.BC^2$
Mà $BC^{2}=AB^2+AC^2(cmt)$
⇒ $AB^{2}.AC^2= $AH^2(AB^{2}+AC^2)$
⇒ $AH^{2}=$ $\dfrac{AB^2.AC^2}{AB^2+AC^2}$
⇒ $\dfrac{1}{AH^2}=$ $\dfrac{AB^2+AC^2}{AB^2.AC^2}$
⇔ $\dfrac{1}{AH^2}=$ $\dfrac{AB^2}{AB^2.AC^2}+$$\dfrac{AC^2}{AB^2.AC^2}$
⇔ $\dfrac{1}{AH^2}=$ $\dfrac{1}{AC^2}+$ $\dfrac{1}{AB^2}$ (đpcm)
+Cách 2:
Có: $AC^{2}=$ $HC^{}.$ $BC^{}$ (cmt)
$AH^{2}=$ $HC.HB^{}$ (cmt)
⇒ $\dfrac{1}{AC^2}$ + $\dfrac{1}{AH^2}$
= $\dfrac{1}{BC.BH}+$ $\dfrac{1}{BC.CH}$
= $\dfrac{CH+BH}{BH.CH.BC}$
= $\dfrac{BC}{BH.CH.BC}$
= $\dfrac{1}{BH.CH}$
Mà $BH.CH=AH^{2}(cmt)$
⇒ $\dfrac{1}{AH^2}=$ $\dfrac{1}{AB^2}+$ $\dfrac{1}{AC^2}$ (đpcm)
d) Xét ΔAHC vuông tại H có:
$AH^{2}+$ $HC^{2}=$ $AC^{2}$ $\text{(Định lí Pytago)}$
T/số: $4,8^{2}+$ $AH^{2}=$ $8^{2}$
→ $AH^{2}=8^2-4,8^2$
$AH^{2}=40,96$
⇒ $AH=6,4(cm)^{}$ $\text{(vì AH > 0)}$
Xét ΔACD và ΔHCE có:
$\widehat{DAC}$ = $\widehat{EHC}$ $(=90^{o})$
$\widehat{ACD}$ = $\widehat{HCE}$ (CE là tia phân giác $\widehat{ACB}$ - gt)
⇒ ΔACD $\backsim$ ΔHCE (g-g)
⇒ $\dfrac{S_{ACD}}{S_{HCE}}=k^2=$ $(\dfrac{AC}{HC})^2=$ $\dfrac{8^2}{6,4^2}$
$=\dfrac{25}{16}$
@tryphena
#dreammachines
--------------------------------------CHÚC BẠN HỌC TỐT--------------------------------------------
