Lời giải:
a. Theo bài ra: $\left\{ {\matrix{
{ME \bot AB} \cr
{MF \bot AC} \cr
} } \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{ME//AF} \cr
{MF//AE} \cr
} } \right.$
(Vì tam giác ABC vuông tại A)
Khi đó: AEMF là hình chữ nhật (Vì góc A vuông)
⇒ AE = MF
Theo giả thiết: N đối xứng với M qua F
Khi đó: $\left\{ {\matrix{
{NF = MF = AE} \cr
{NF//AE} \cr
} } \right.$
Vậy AEFN là hình bình hành (2 cặp cạnh tương ứng song song và bằng nhau).
b. Vì MF//AB, M là trung điểm của BC (giả thiết)
Suy ra MF là đường trung bình
Khi đó F là trung điểm của AC.
Xét tứ giác AMCN có AC và MN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, AC ⊥ MN
Suy ra: AMCN là hình thoi
c. Gọi H là giao điểm của AM và BF (*)
Vì AM, BF là trung tuyến của tam giác ABC nên H là trọng tâm tam giác ABC
Khi đó: ${{HM} \over {AM}} = {1 \over 3}$ (1)
Theo giả thiết: ${{NI} \over {NC}} = {1 \over 3}$ (2)
Mà AMCN là hình thoi (câu b) nên AM = NC (3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒ HM=NI
Mà HM//NI (AM//NC) nên HMIN là hình bình hành
Suy ra: hai đường chéo HI và MN sẽ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Do F là trung điểm của MN nên F sẽ là trung điểm của HI
⇔ H, F, I thẳng hàng (**)
Từ (*) và (**)
⇒ B, F, I thẳng hàng
