Cho tam giác nhọn ABC AB 1) Chứng minh rằng tứ giác BCDO nội tiếp và \(A{B^2} + 2C{D^2} = 4{R^2}.\)2) Giả sử đường cao CE của tam giác ABC cắt đường cao BD tại H và I là điểm đối xứng với O qua BC. Tính độ dài đoạn IH theo R.3) Chứng minh O là trực tâm của tam giác ADE.A.B.C.D.

nguyenhuykhanh65

2 năm trước

Cho tam giác nhọn ABC AB < AC nội tiếp (O; R) có \(\angle BAC = {45^0},\) đường cao BD.
1) Chứng minh rằng tứ giác BCDO nội tiếp và \(A{B^2} + 2C{D^2} = 4{R^2}.\)
2) Giả sử đường cao CE của tam giác ABC cắt đường cao BD tại H và I là điểm đối xứng với O qua BC. Tính độ dài đoạn IH theo R.
3) Chứng minh O là trực tâm của tam giác ADE.
A.
B.
C.
D.

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 30 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

quangkhai

Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
Cho tam giác nhọn ABC AB < AC nội tiếp (O; R) có \(\angle BAC = {45^0},\) đường cao BD.
1) Chứng minh rằng tứ giác BCDO nội tiếp và \(A{B^2} + 2C{D^2} = 4{R^2}.\)
Do \(\angle BAC = {45^0} \Rightarrow \angle BOC = {90^0}\)(góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung).
Do vậy: \(\angle BOC = \angle BDC = {90^0}\) nên O và D cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông.
Vậy B, C, D, O cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
Hay tứ giác BCDO là tứ giác nội tiếp (đpcm).
Do \(\angle BAC = {45^0}\) nên tam giác BDA vuông cân, do đó BD = DA.
Áp dụng định lý Py-ta-go với tam giác \(ABD\) vuông tại \({\rm{D}}\) ta có:
\(A{B^2} = A{D^2} + B{D^2} = 2B{D^2}.\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go với \(\Delta BDC\) vuông tại \(D\) ta có:
\(B{C^2} = C{D^2} + B{D^2}.\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go với \(\Delta BOC\) vuông tại \(O\) ta có:
\(\begin{array}{l}B{C^2} = O{B^2} + O{C^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2}.\\ \Rightarrow A{B^2} + 2C{D^2} = 2B{D^2} + 2C{D^2} = 2\left( {B{D^2} + C{D^2}} \right) = 2B{C^2} = 2.2{R^2} = 4{R^2}\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
2) Giả sử đường cao CE của tam giác cắt BD tại H, I đối xứng với O qua BC. Tính IH theo R.
Giả sử: \(OI\) cắt \(BC\) tại \(K \Rightarrow K\) là trung điểm của \(BC.\)
Vẽ đường kính \(AS,\) ta có: \(CS \bot AC\) (\(\angle ACS\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Lại có \(BH \bot AC \Rightarrow CS//BH\;\;\left( { \bot AC} \right).\)
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có : \(CH//BS\;\;\left( { \bot AB} \right)\)
\( \Rightarrow BHCS\) là hình bình hành (dhnb).
Mà \(K\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow K\) cũng là trung điểm của \(HS.\)
Xét \(\Delta AHS\) ta có: \(O\) là trung điểm của \(AS\;\;\left( {gt} \right)\)
\(K\) là trung điểm của \(HS\;\;\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow OK\) là đường trung bình của \(\Delta AHS.\)
\( \Rightarrow OK = \frac{1}{2}AH \Rightarrow AH = 2OK = OI.\)
Xét tứ giác \(HAOI\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OI = AH\;\;\left( {cmt} \right)\\OI//AH\;\;\;\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HAOI\) là hình bình hành (dhnb).
\( \Rightarrow IH = AO = R\) (cặp cạnh đối bằng nhau).
3) Chứng minh O là trực tâm của tam giác ADE.
Xét AEC : \(\Delta AEC:\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}\angle EAC = {45^0}\\\angle AEC = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta AEC\) vuông cân tại \(E \Rightarrow EA = EC.\)
Lại có: \(OA = OC \Rightarrow EO\) là đường trung trực của \(AC.\)
\( \Rightarrow EO \bot AC.\)
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có : \(DO \bot EA.\)
\( \Rightarrow \Delta ADE\) có hai đường cao cắt nhau tại \(O \Rightarrow O\) là trực tâm của \(\Delta ADE.\;\;\left( {dpcm} \right)\)

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\;\;AB > AC\) và các đường cao \(AD,\;\;BE,\;\;CF\) cắt nhau tại \(H.\)
a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AH,\) chứng minh \(AEHF\) nội tiếp đường tròn \(\left( I \right).\)
b) Chứng minh \(DB.DC = DA.DH.\)
c) Gọi \(K\) là giao điểm khác \(A\) của hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( I \right).\) Chứng minh \(OI//HK.\)
A.
B.
C.
D.

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB = 6cm.\) Gọi \(H\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(AB\) sao cho \(AH = 1cm.\) Qua \(H\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(AB,\) đường thẳng này cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại C và D. Hai đường thẳng BC và AD cắt nhau tại M. Gọi N là hình chiếu của M trên đường thẳng AB.
a) Chứng minh tứ giác MNAC nội tiếp.
b) Tính độ dài CH và \(\tan \angle ABC\)
c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).
d) Tiếp tuyến tại A của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt NC tại E. Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.
A.
B.
C.
D.

Cho đường tròn (O) có dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A di động trên (O) sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao BE, CF của tam giác ABC (E thuộc AC, F thuộc AB) cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC, đoạn thẳng KA cắt (O) tại điểm M. Chứng minh rằng:
a) BCEF là tứ giác nội tiếp.
b) KM.KA = KE.KF.
c) Đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.
A.
B.
C.
D.

Ô nhiễm tiếng ồn là gì? Hãy chỉ ra trường hợp gây ô nhiễm tiếng ồn gần nơi em sinh sống và đề ra biện pháp chống ô nhiễm tiếng ồn đó?
A.
B.
C.
D.

So sánh vùng nhìn thấy của gương phẳng, gương cầu lồi, gương cầu lõm. Hãy nêu một ứng dụng của gương cầu lồi và một ứng dụng của gương cầu lõm.
A.
B.
C.
D.

Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm C cắt các đường thẳng AB và AD theo thứ tự tại M, N. Dựng AH vuông góc với BD tại điểm H, K là giao điểm của hai đường thẳng MN và BD.
a) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AD.AN = AB.AM.
c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng.
d) Cho AB = 6cm, AD = 8cm. Tính độ dài đoạn MN.
A.
B.
C.
D.

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp được đường tròn.
b) Biết \(\widehat {EBC} = {30^0}.\) Tính số đo \(\widehat {EMC}\) .
c) Chứng minh \(\widehat {FDE} = \widehat {FME}\)
A.
B.
C.
D.

Cho đường tròn (O;R) ( đường tròn tâm O, bán kính R) và điểm A cố định nằm trên đường tròn (O;R). BC là một đường kính thay đổi của đường tròn (O;R) và không đi qua điểm A. Đường tròn đường kính AO cắt các đoạn AB, AC tại các điểm thứ hai tương ứng là M, N. Tia OM cắt (O;R) tại điểm P. Gọi H là trực tâm của tam giác AOP. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AMON là hình chữ nhật.
b) Tứ giác PHOB nội tiếp được trong một đường tròn và \(\frac{{OH.PC}}{{AC}}\) không phụ thuộc vị trí của các điểm B, C.
c) Xác định vị trí của các điểm B, C sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất.
A.
B.
C.
D.

Nêu hiểu biết của em về tác giả, tác phẩm Lặng lẽ Sa Pa
A.
B.
C.
D.

Vẻ đẹp thiên nhiên Sa Pa được khắc họa thế nào? Em hãy làm rõ bằng một đoạn văn ngắn từ 12 – 15 câu.
A.
B.
C.
D.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến