Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
Ta có: \(\angle FIC = \angle IBC + \angle ICB\) (góc ngoài của tam giác \(IBC\)).
Mà \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) nên \(BI,\,\,CI\) lần lượt là phân giác của các góc \(\angle ABC,\,\,\angle ACB\).
\( \Rightarrow \angle IBC = \dfrac{1}{2}\angle ABC\), \(\angle ICB = \dfrac{1}{2}\angle ACB\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle FIC = \dfrac{1}{2}\left( {\angle ABC + \angle ACB} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {{{180}^0} - \angle BAC} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {{{180}^0} - {{60}^0}} \right) = {60^0}\end{array}\)
Xét tam giác \(ADE\) có: \(AD = AE\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau), \(\angle BAC = \angle DAE = {60^0}\,\,\left( {gt} \right)\), do đó tam giác \(ADE\) đều \( \Rightarrow \angle AED = {60^0} \Rightarrow \angle FEC = \angle AED = {60^0}\) (đối đỉnh).
\( \Rightarrow \angle FIC = \angle FEC\,\,\left( { = {{60}^0}} \right)\) \( \Rightarrow \) Tứ giác \(EFCI\) nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau), do đó \(\angle BFC = \angle IFC = \angle IEC = {90^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(IC\)).
Xét tam giác \(BFC\) vuông tại \(F\) có trung tuyến \(FM\) ứng với cạnh huyền \(BC\) \( \Rightarrow FM = \dfrac{1}{2}BC\) (Định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Chứng minh tương tự: \(GM = \dfrac{1}{2}BC.\) Suy ra \(GM = FM \Rightarrow \Delta MFG\) cân tại \(M\).
Ta có: \(\angle GFM = \angle GFB + \angle BFM\).
Mà \(\angle GFB = \angle ACI = \dfrac{1}{2}\angle ACB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(IE\)).
\(\angle BFM = \angle MBI = \dfrac{1}{2}\angle ABC\) (do \(FM = \dfrac{1}{2}BC = MB\) nên tam giác \(MBF\) cân tại \(M\)).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle GFB + \angle BFM = \dfrac{1}{2}\left( {\angle ABC + \angle ACB} \right) = {60^0}\\ \Rightarrow \angle GFM = {60^0}\end{array}\)
Vậy tam giác \(GFM\) là tam giác đều.
