Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

a) Áp dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) đồng dạng (g.g).
Từ đó suy ra tỉ lệ \(\dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} \Rightarrow AE.AB = AC.AD\)  (đpcm).
c) Dựa vào kết quả câu b):\(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) đồng dạng (g.g) \( \Rightarrow k = \dfrac{{AE}}{{AC}}\) (\(k\) là tỉ số đồng dạng) .
Áp dụng tính chất: Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng \( \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {k^2}\).
Dựa vào biểu thức tính được diện tích của tam giác \({S_{\Delta ADE}}\).Giải chi tiết:
a) Chứng minh tứ giác \(BCDE\) nội tiếp trong một đường tròn.
Vì \(BD,\,\,CE\) là hai đường cao của tam giác \(ABC\) (gt) nên \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC \Rightarrow \angle BDC = {90^0}\\CE \bot AB \Rightarrow \angle BEC = {90^0}\end{array} \right.\).
Xét tứ giác \(BCDE\) có \(\angle BDC = \angle BEC = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\) nên \(BCDE\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau) (đpcm).
b) Chứng minh \(AE.AB = AC.AD\).
Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) có:
\(\angle BAC\) chung;
\(\angle AED = \angle ACD\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp \(BCDE\)).
\( \Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta ABC\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}\) (hai cạnh tương ứng).
Vậy \(AE.AB = AC.AD\) (đpcm).
c) Tính diện tích tam giác \(ADE\), biết diện tích tam giác \(ABC\) là \(100c{m^2}\).
Ta có: Tam giác \(ADE\) đồng dạng tam giác \(ABC\) (cmt) theo tỉ số \(k = \dfrac{{AE}}{{AC}}\).
Xét tam giác \(AEC\) vuông tại \(E\) ta có: \(k = \dfrac{{AE}}{{AC}} = \cos \angle EAC = \cos {60^0} = \dfrac{1}{2}\).
Do đó ta có: \(\dfrac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {k^2} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\) (tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng).
\( \Rightarrow {S_{\Delta ADE}} = \dfrac{1}{4}{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{4}.100 = 25\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
Vậy \({S_{\Delta ADE}} = 25\,\,c{m^2}\).