Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:
Ta có \(A{B^2} + B{C^2} = 4{a^2} + 3a = 7{a^2} = A{C^2}\) nên \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) (định  lí Pytago đảo).
\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.2a.a\sqrt 3  = {a^2}\sqrt 3 \).
Dựng hình chữ nhật \(ABCE\) ta có \(AB//CE \Rightarrow AB//\left( {CDE} \right) \Rightarrow d\left( {AB;CD} \right) = d\left( {AB;\left( {CDE} \right)} \right)\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), kẻ \(IJ//AE//BC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot DI\\AB \bot IJ\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {DIJ} \right)\).
Trong \(\left( {DIJ} \right)\) kẻ \(DH \bot IJ\,\,\left( {H \in IJ} \right)\) \( \Rightarrow DH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có \(d\left( {AB;CD} \right) = d\left( {AB;\left( {CDE} \right)} \right) = d\left( {I;\left( {CDE} \right)} \right)\).
Trong \(\left( {DIJ} \right)\) lẻ \(IK \bot DJ\,\,\left( {K \in DJ} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CE//AB\\AB \bot \left( {DIJ} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {DIJ} \right) \Rightarrow IK \bot IJ\\\left\{ \begin{array}{l}IK \bot IJ\\IK \bot DJ\end{array} \right. \Rightarrow IK \bot \left( {CDE} \right) \Rightarrow d\left( {I;\left( {CDE} \right)} \right) = IK = \dfrac{a}{2}\end{array}\)

Vì \(\Delta ABD\) đều cạnh \(2a\) nên \(DI = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3  = IJ\) \( \Rightarrow \Delta DIJ\) cân tại \(I\) \( \Rightarrow K\) là trung điểm cuae \(DJ\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(DIK\) ta có \(DK = \sqrt {D{I^2} - I{K^2}}  = \sqrt {3{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt {11} }}{2}\)
\( \Rightarrow DJ = 2DK = a\sqrt {11} \).
Khi đó ta có \({S_{\Delta DIJ}} = \dfrac{1}{2}IK.DJ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.a\sqrt {11}  = \dfrac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}\).
Lại có \({S_{\Delta DIJ}} = \dfrac{1}{2}DH.IJ \Rightarrow DH = \dfrac{{2{S_{\Delta DIJ}}}}{{IJ}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {11} }}{{2.a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt {33} }}{6}\).
Vậy \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}DH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {33} }}{6}.{a^2}\sqrt 3  = \dfrac{{{a^3}\sqrt {11} }}{6}\).
Chọn C