Cho tứ diện ABCD có thể tích \(V\). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, ACD, ABD và BCD. Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng A.\(\frac{4V}{9}\). B.\(\frac{V}{27}\). C.\(\frac{V}{9}\). D.\(\frac{4V}{27}\).
Gọi \(E,F,K\) là trung điểm của \(AB,AC,BC\). Khi đó theo tính chất trọng tâm tam giác ta có \(\frac{DN}{DF}=\frac{DP}{DE}=\frac{DQ}{DK}=\frac{2}{3}\). Suy ra \(\frac{{{V}_{DPNQ}}}{{{V}_{DEFK}}}=\frac{DN}{DF}.\frac{DP}{DE}.\frac{DQ}{DK}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{8}{9}\). Lại có \(\frac{{{V}_{M.NPQ}}}{{{V}_{D.NPQ}}}=\frac{\frac{1}{3}d\left( M;\left( NPQ \right) \right).{{S}_{NPQ}}}{\frac{1}{3}d\left( D;\left( NPQ \right) \right).{{S}_{NPQ}}}=\frac{1}{2}\) nên \({{V}_{MNPQ}}=\frac{4}{9}{{V}_{DEFK}}\). Vì \(E;F;K\)là trung điểm của \(AB,AC,BC\) nên \({{S}_{EFK}}={{S}_{ABC}}-{{S}_{AEF}}-{{S}_{CFK}}-{{S}_{BEK}}=\frac{1}{4}{{S}_{ABC}}\). Suy ra \(\frac{{{V}_{DEFK}}}{{{V}_{DABC}}}=\frac{\frac{1}{3}d\left( D;\left( EFK \right) \right).{{S}_{EFK}}}{\frac{1}{3}d\left( D;\left( ABC \right) \right).{{S}_{ABC}}}=\frac{1}{4}\)mà \({{V}_{MNPQ}}=\frac{4}{9}{{V}_{DEFK}}\)\(\Rightarrow {{V}_{MNPQ}}=\frac{1}{9}{{V}_{DABC}}=\frac{V}{9}\). Chọn C.