Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn \(\sqrt{2x^{2}+3xy+4y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+3xy+4x^{2}}-3(x+y)^{2}\leq 0\) Tìm GTNN của P: \(2(x^{3}+y^{3})+2(x^{2}+y^{2})-xy+\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}\)

lamynhu246

6 năm trước

Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn \(\sqrt{2x^{2}+3xy+4y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+3xy+4x^{2}}-3(x+y)^{2}\leq 0\)

Tìm GTNN của P: \(2(x^{3}+y^{3})+2(x^{2}+y^{2})-xy+\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 1882 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

111111111a

Ta có \(\sqrt{2x^{2}+3xy+4y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+3xy+4x^{2}}\)

\(=\sqrt{(\sqrt{2}(x+\frac{3}{4}))^{2}+(\sqrt{\frac{23}{8}y})^{2}}+\sqrt{(\sqrt{2}(y+\frac{3}{4}))^{2}+(\sqrt{\frac{23}{8}x})^{2}}\geq 3\left | x+y \right |\)

\(=3(x+y)\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y\geq 0.\) Đặt x + y = t ta có \(\left\{\begin{matrix} t^{2}-t\geq 0\\ t\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \big \lbrack\begin{matrix} t=0\\ t\geq 1 \end{matrix}\; (*)\)

Ta có \(P=2t^{3}+2t^{2}-xy(6t+5)+\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}\)

\(P\geq 2t^{3}+2t^{2}-\frac{t^{2}}{4}(6t+5)+\sqrt{t^{2}+4}\Leftrightarrow 4P\geq 2t^{3}+3t^{2}+4\sqrt{t^{2}+4}=f(t)\)

Xét hàm số \(f(t)=2t^{3}+3t^{2}+4\sqrt{t^{2}+4}\) trên (*), \(f'(t)=6t^{2}+6t+\frac{4t}{\sqrt{t^{2}+4}}\geq 0\)

Với mọi t thỏa mãn (*). Suy ra \(f(t)\geq \left \{ f(0);f(1) \right \}=f(0)=8\)

Vậy \(4P\geq f(t)\geq f(0)=8.\) Hay min P = 2 đạt được khi \(\left\{\begin{matrix} x=y\geq 0\\ x+y=0 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=y=0\)

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, SA = SB = SC = a. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của S qua E; I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN). Chứng minh rằng AD vuông góc với SI và tính theo a thể tích của khối tứ diện SBMI.

Cho hàm số \(y=\frac{-x+1}{2x-1}\; \; (1).\)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

b. Chứng minh rằng đường thẳng y = x + m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B.

Tìm m để tọa độ đoạn \(AB=\sqrt{2}.\)

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y=x.e^{-x}\) trên đoạn [0;3]

Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt và thỏa mãn các điều kiện a + b + c = 1 và ab + bc + ca > 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=2\left ( \sqrt{\frac{2}{(a-b)^{2}}+\frac{2}{(b-c)^{2}}} \right )+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}\)

Cho hàm số \(y=f(t)=x^3+3x^2-2\) có đồ thị (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0, biết \(f''(x_0) = 5x_{0} + 7\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1; -2;0) và mặt phẳng (P): 2x - 2y +z - 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mặt phẳng (P) . Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x+\frac{9}{x-1}\) trên đoạn [2;5]

Help me!

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=x^4-2x^2-3\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M(1;1;2)\) mặt phẳng (P): 15x + 3y - 2z +1 =0 và đường thẳng \(d: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-4}{13}\). Chứng tỏ đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) và viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm M, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P).

Cho hai số x, y thay đổi thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} x> 0> y\\ \frac{x^2}{2y}-3x+6y-\frac{4y^2}{x}-4\leq \frac{6}{xy} \end{matrix}\right.\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=2x^4+32y^4+4x^2y^2-2x^2-8y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{4y^2}-5\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến