Cho \(x,y \) là hai số thực thoả mãn điều kiện \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+4=4y+3x \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=3 \left( {{x}^{3}}-{{y}^{3}} \right)+20{{x}^{2}}+2xy+5{{y}^{2}}+39x \). A.100 B.66 C.110 D.90
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:Theo giả thiết \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+4=4y+3x\Leftrightarrow {{y}^{2}}+\left( x-4 \right)y+{{x}^{2}}-3x+4=0\) Ta xem đây là phương trình bậc hai ẩn yvà khi đó điều kiện có nghiệm là : \(\Delta ={{\left( x-4 \right)}^{2}}-4\left( {{x}^{2}}-3x+4 \right)=-3{{x}^{2}}+4x\ge 0\Leftrightarrow 0\le x\le \frac{4}{3}\) Từ giả thiết suy ra \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=3x+4y-4\). Khi đó : \(P=3\left( x-y \right)\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)+20{{x}^{2}}+2xy+5{{y}^{2}}+39x=2\left( 12{{x}^{2}}-6{{y}^{2}}+16y+21x \right)-20\) Đặt \(g\left( y \right)=-6{{y}^{2}}+16y+21x+12{{x}^{2}}\)(ta xem \(x\) là tham số) Khi đó \(g\left( y \right)\le g\left( \frac{4}{3} \right)=12{{x}^{2}}+21x+\frac{32}{3}\) Do \(x\in \left[ 0;\frac{4}{3} \right]\) nên \(12{{x}^{2}}+21x+\frac{32}{3}\le 60\) Suy ra \(g\left( y \right)\le 60\) Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(100\) khi \(x=y=\frac{4}{3}\) Chọn A.