cho x,y,z là số thực dương thỏa mãn xy+yz+xz=xyz cmr \(\dfrac{xy}{z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\dfrac{yz}{x^3\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{xz}{y^3\left(1+x\right)\left(1+z\right)}\ge\dfrac{1}{16}\)

thanhhoang2712001

5 năm trước

cho x,y,z là số thực dương thỏa mãn xy+yz+xz=xyz

cmr \(\dfrac{xy}{z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\dfrac{yz}{x^3\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{xz}{y^3\left(1+x\right)\left(1+z\right)}\ge\dfrac{1}{16}\)

Loga Toán lớp 10

0 lượt thích 318 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

eumenides

Đặt cái ban đầu là P

Ta có: \(xy+yz+zx=xyz\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)

Ta lại có:

\(\dfrac{xy}{z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\dfrac{1+x}{64x}+\dfrac{1+y}{64y}\ge\dfrac{3}{16z}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\ge\dfrac{3}{16z}-\dfrac{1}{32}-\dfrac{1}{64x}-\dfrac{1}{64y}\left(1\right)\)

Tương tự ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{yz}{x^3\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\dfrac{3}{16x}-\dfrac{1}{32}-\dfrac{1}{64y}-\dfrac{1}{64z}\left(2\right)\\\dfrac{zx}{y^3\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\ge\dfrac{3}{16y}-\dfrac{1}{32}-\dfrac{1}{64z}-\dfrac{1}{64x}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1), (2), (3) ta có:

\(P\ge\dfrac{3}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-\dfrac{1}{32}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-\dfrac{3}{32}\)

\(=\dfrac{3}{16}-\dfrac{1}{32}-\dfrac{3}{32}=\dfrac{1}{16}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=3\)

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Giải phương trình:

2x2-x-7+2\(\sqrt{6x+11}\)=0

Chia đều 60 chiếc kẹo cho tat cả học sinh lop 6C thì còn dư 13 chiếc . Hỏi lớp 6C có bao nhiêu hoc sinh

cho các số thực ko âm x,y,z thỏa mãn \(x+y+z=1\) .chứng minh: \(xy+yz+zx\le\dfrac{8}{27}\)

tìm số nguyên k nhỏ nhất sao cho phương trình \(2\left(kx-4\right)-x^2+6=0\) vô nghiệm

A.k=-1

B.k=1

C.k=2

D.k=3

giúp dùm mình nha!!Cảm ơn nhiều!!!

Chứng minh BĐT :

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\) với a,b\(\ge\)0

cho a,b,c là 3 số khác 0 và a+b+c khac 0 thoả mãn a/b+c=b/c+a=c/a+b Tính giá trị biểu thức P=b+c/a+c+a/b+a+b/c

mn thân yêu giúp e bài này vs ạ!!! E đang cần gấp-

1.Tính nhẩm

a.19 x 64 + 76 x 34

b.35 x 12 + 65 x 13

c. 27 x 27 - 25 x 29

2. So Sánh

a. 2727 x 28 - 2828 x 27

b. 199199 x 198 - 198198 x 199

3.Tính

20 số 3 x 20 số 3

Thanks mn nhiều ạ

Một tam giác vuông cân có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. diện tích của tam giác là:

A. 4R2

B.R2

C. R\(\sqrt{2}\)

D. 2R2

Cho a,b,c>0,a+b+c=3 thì có thể khẳng định ab+bc+ca>1 không ?

Giải BPT

\(\dfrac{x}{x+1}-2\sqrt{\dfrac{x+1}{x}}>3\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến