Chứng minh rằng 1/1+a + 1/1+b + 2015ab ≤ 2016
cho a,b >0 thỏa mãn \(\left(a+b\right)^3+4ab\le12\) chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+2015ab\le2016\)
@Ace Legon
Ta có:
\(12\geq (a+b)^{3}+4ab\geq a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)+4ab\)
\(\geq 4ab(a+b)+4ab\geq 8\sqrt{a^{3}b^{3}}+4ab\)
\(\Leftrightarrow 3\geq 2\sqrt{a^{3}b^{3}}+ab\Leftrightarrow (\sqrt{ab}-1)(2ab+2\sqrt{ab}+3)\leq 0 \Leftrightarrow ab\leq 1\)
Vì \(ab\leq 1\) nên ta có BĐT
\(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}\le\dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}\Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{ab}-1\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(1+\sqrt{ab}\right)}\le0\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+2015ab\le\dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}+2015ab\le2016\)
Cần chỉ ra \(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}\le\dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}=1\)
\(\Leftrightarrow 2015\sqrt{ab}(ab-1)+\sqrt{ab}(\sqrt{ab}-1)+2014ab\leq 2014\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)
T/B; bận leo rank nên bài làm hơi lộn xộn, khó hiểu chỗ nào mai sẽ giải thích
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =|2x-2|+|2x-2016| với x là số nguyên
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =/2x-2/+/2x-2016/ với x là số nguyên
Tính căn27×(1-căn3) ÷ 3căn75
Tinh
√27×(1-√3) ÷3√75
Giải phương trình 1/x+1/x+50=1/60
giải pt
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+50}=\dfrac{1}{60}\)
Tìm GTNN của biểu thức A = x^2 − 2x + 2006/x^2
tìm GTNN của biểu thức A = \(\frac{x^2-2x+2006}{x^2}\)
Chứng minh a^2+b^2+c^2+2abc
cho a,b,c là ba độ dài của tam giác có chu vi bằng 2
Chứng minh a^2+b^2+c^2+2abc<2
Chứng minh căn(a^2 + căn(a^2 + . . . + căn(a^2))) < 1/2 + 1/8 (căn(1 + 16a^2) + căn(9 + 16a^2))
Cho số thực \(ae0\).Chứng minh
\(\sqrt{a^2+\sqrt{a^2+...+\sqrt{a^2}}}< \frac{1}{2}+\frac{1}{8}\left(\sqrt{1+16a^2}+\sqrt{9+16a^2}\right)\)
(n dấu căn)
Tìm giá trị nhỏ nhất của A=căn(2x^2 + 2y^2 biết x+y=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của A=\(\sqrt{2x^2+2y^2}\) biết x+y=1
Tìm Amin
Chứng minh bất đẳng thức 2−căn(2+căn(2+căn(2+căn2)))/2−căn(2+căn(2+căn2))
Chứng minh bất đẳng thức :\(\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}< \frac{1}{3}\)
Giải phương trình (x + 2)^2 + (x + 3)^3 + (x + 4)^4 = 2
(x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2
Giải phương trình x^5 + x^2 + 2x + 2 = 0
Giải pt:
a) x5 + x2 + 2x + 2 = 0
b) x4 = 4x - 3
Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến