C1: Ta có: $\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{2²}$ + $\frac{1}{2^{3}}$ + $\frac{1}{2^{4}}$ +$\frac{1}{2^{5}}$+ $\frac{1}{2^{6}}$ + $\frac{1}{2^{7}}$
= $\frac{2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2+1}{2^{7}}$
= $\frac{64+32+16+8+4+2+1}{128}$
= $\frac{127}{128}$ < 1
Vậy $\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{2²}$ + $\frac{1}{2^{3}}$ + $\frac{1}{2^{4}}$ +$\frac{1}{2^{5}}$+ $\frac{1}{2^{6}}$ + $\frac{1}{2^{7}}$ <1
C2: $\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{2²}$ + $\frac{1}{2^{3}}$ + $\frac{1}{2^{4}}$ +$\frac{1}{2^{5}}$+ $\frac{1}{2^{6}}$ + $\frac{1}{2^{7}}$
= $\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{16}$ +$\frac{1}{32}$+ $\frac{1}{64}$ + $\frac{1}{128}$
= 1 - $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$- $\frac{1}{16}$ +$\frac{1}{16}$ -$\frac{1}{32}$ +$\frac{1}{32}$ -$\frac{1}{64}$ +$\frac{1}{64 }$ -$\frac{1}{128}$
= 1 - $\frac{1}{128}$
= $\frac{127}{128}$ < 1
Vậy $\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{2²}$ + $\frac{1}{2^{3}}$ + $\frac{1}{2^{4}}$ +$\frac{1}{2^{5}}$+ $\frac{1}{2^{6}}$ + $\frac{1}{2^{7}}$ < 1
C3: Đặt A = $\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{2²}$ + $\frac{1}{2^{3}}$ + $\frac{1}{2^{4}}$ +$\frac{1}{2^{5}}$+ $\frac{1}{2^{6}}$ + $\frac{1}{2^{7}}$
Ta có: 2A = 2( $\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{2²}$ + $\frac{1}{2^{3}}$ + $\frac{1}{2^{4}}$ +$\frac{1}{2^{5}}$+ $\frac{1}{2^{6}}$ + $\frac{1}{2^{7}}$)
= 1 + $\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{2^{2}}$ +...+$\frac{1}{2^{6}}$
Suy ra : 2A - A = (1 + $\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{2^{2}}$ +...+$\frac{1}{2^{6}}$ ) - ( $\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{2²}$ +...+ $\frac{1}{2^{7}}$ )
⇒ A = 1 + $\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{2^{2}}$ +...+$\frac{1}{2^{6}}$ - $\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{2²}$ +...+ $\frac{1}{2^{7}}$
= 1 - $\frac{1}{27}$ < 1
Vậy A < 1 hay $\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{2²}$ + $\frac{1}{2^{3}}$ + $\frac{1}{2^{4}}$ +$\frac{1}{2^{5}}$+ $\frac{1}{2^{6}}$ + $\frac{1}{2^{7}}$ <1
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