Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

Ta chứng minh $\Delta _{1}^{'}+\Delta _{2}^{'}+\Delta _{3}^{'}\ge 0$ từ đó suy ra ít nhất một trong ba biệt thức này không âmGiải chi tiết:Với \(a,b,c \ne 0\) thì ba phương trình đã cho là các phương trình bậc hai
$\Delta _{1}^{'}={{\left( b+c \right)}^{2}}-4ac,\Delta _{2}^{'}={{\left( a+c \right)}^{2}}-4ba,\Delta _{3}^{'}={{\left( b+a \right)}^{2}}-4cb$
$\Rightarrow \Delta _{1}^{'}+\Delta _{2}^{'}+\Delta _{3}^{'}={{\left( b+c \right)}^{2}}-4ac+{{\left( a+c \right)}^{2}}-4ba+{{\left( b+a \right)}^{2}}-4cb$
$\Rightarrow \Delta _{1}^{'}+\Delta _{2}^{'}+\Delta _{3}^{'}=2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-2\left( ab+bc+ca \right)$
$\Rightarrow \Delta _{1}^{'}+\Delta _{2}^{'}+\Delta _{3}^{'}={{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b+c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}\ge 0,\,\forall a,b,c\ne 0$
Vậy ít nhất một trong ba phương trình có nghiệm.