Lời giải:
Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}\right)=(a,b,c)\Rightarrow a+b+c=1\)
Bài toán tương đương với việc chứng minh:
\(\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b^3}{(a+1)(c+1)}\geq \frac{1}{16}\)
Thật vậy, áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{a+1}{64}+\frac{b+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^3}{64^2}}=\frac{3c}{16}\)
Tương tự:
\(\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b+1}{64}+\frac{c+1}{64}\geq \frac{3a}{16}\)
\(\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}+\frac{c+1}{64}+\frac{a+1}{64}\geq \frac{3c}{16}\)
Cộng các BĐT thu được ở trên:
\(\Rightarrow \text{VT}+\frac{(a+b+c)+3}{32}\geq \frac{3}{16}(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{16}\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{1}{16}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=3\)
