Xét $n^{2}$ +n+9
=$n^{2}$ +4n-3n+9
=n(n+4)-3(n+4)+21
=(n-3)(n+4)+21
Giả sử tồn tại số nguyên n để $\frac{n^2+n+9}{49}$ là số nguyên
⇒ $n^{2}$ +n+9 chia hết cho 49
⇒(n-3)(n+4)+21 chia hết cho 49
Mà 49 chia hết cho 7
⇒(n-3)(n+4)+21 chia hết cho 7
Mà 21 chia hết cho 7
⇒(n-3)(n+4) chia hết cho 7
Mà 7 nguyên tố
⇒n-3 chia hết cho 7 hoặc n+4 chia hết cho 7
Xét hiệu: (n+4)-(n-3)
=n+4-n+3
=(n-n)+(4+3)
=0+7
=7
Vì 7 chia hết cho 7
⇒(n+4)-(n-3) chia hết cho 7
+)Có (n+4)-(n-3) chia hết cho 7
Mà n+4 chia hết cho 7
⇒n-3 chia hết cho 7
+)Có (n+4)-(n-3) chia hết cho 7
Mà n-3 chia hết cho 7
⇒n+4 chia hết cho 7
Ta có n-3 chia hết cho 7
n+4 chia hết cho 7
⇒(n-3)(n+4) chia hết cho 7.7
⇒(n-3)(n+4) chia hết cho 49
Mà (n-3)(n+4)+21 chia hết cho 49
⇒21 chia hết cho 49
⇒Vô lý
⇒Giả sử sai
Vậy không tồn tại số nguyên n để$\frac{n^2+n+9}{49}$ là số nguyên.
