Đáp án:
`(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9` với mọi `x;y;z>0`
Giải thích các bước giải:
Ta có:
`(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)`
`=1+x/y+x/z+y/x+1+y/z+z/x+z/y+1`
`=(1+1+1)+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y)`
`=3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y)`
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho `x;y;z` không âm ta có:
`x/y+y/x>=2\sqrt{x/y.(y)/x}=2\sqrt1=2`
`x/z+z/x>=2\sqrt{x/z.(z)/x}=2\sqrt1=2`
`y/z+z/y>=2\sqrt{y/z.(z)/y}=2\sqrt1=2`
`\to (x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y)>=2+2+2=6`
`\to 3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y)>=6+3=9`
`\to (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9`
`\to đpcm`
Vậy `(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9` với mọi `x;y;z>0`
