$\text{a) Xét ΔAHD và ΔAKD có:}$

$\text{$\widehat{HAD}$ = $\widehat{KAD}$ (AD là p/g $\widehat{A}$)}$

$\text{AD chung}$

$\text{$\widehat{AHD}$ = $\widehat{AKD}$ = $90^{o}$ (DH ⊥ AB; DK ⊥ AC)}$

$\text{⇒ ΔAHD = ΔAKD (ch-gn) (1)}$

$\text{b) Xét ΔMHD và ΔNKD có:}$

$\text{$\widehat{HDM}$ = $\widehat{KDN}$ (đối đỉnh)}$

$\text{từ (1) ⇒ HD = KD (2 cạnh t/ứ)}$

$\text{$\widehat{MHD}$ = $\widehat{NKD}$ = $90^{o}$ (DH ⊥ AB; DK ⊥ AC)}$

$\text{⇒ ΔMHD = ΔNKD (g.c.g)}$

$\text{⇒ HM = KN (2 cạnh t/ứ)}$

$\text{c) Có: AM = AH + HM; AN = AK + KN}$

$\text{mà từ (1) ⇒ AH = AK (2 cạnh t/ứ); HM = KN (cmt)}$

$\text{⇒ AM = AN}$

$\text{⇒ ΔAMN cân tại A (DHNB)}$

$\text{mà AD là tia p/g của $\widehat{A}$ (gt)}$

$\text{⇒ AD đồng thời là đg trung trực (tc Δ cân)}$

$\text{⇒ AD ⊥ MN}$

$\text{Xét ΔABC có:}$

$\text{$\widehat{BAC}$ + $\widehat{ABC}$ + $\widehat{ACB}$ = $180^{o}$ (đl tổng 3 góc trong Δ)}$

$\text{mà $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ (ΔABC cân tại A)}$

$\text{⇒ $\widehat{BAC}$ + 2$\widehat{ABC}$ = $180^{o}$ (3)}$

$\text{Xét ΔAMN có:}$

$\text{$\widehat{BAC}$ + $\widehat{AMN}$ + $\widehat{ANM}$ = $180^{o}$ (đl tổng 3 góc trong Δ)}$

$\text{mà $\widehat{AMN}$ = $\widehat{ANM}$ (ΔAMN cân tại A)}$

$\text{⇒ $\widehat{BAC}$ + 2$\widehat{AMN}$ = $180^{o}$ (4)}$

$\text{từ (3), (4) ⇒ $\widehat{ABC}$ = $\widehat{AMN}$}$

$\text{mà 2 góc này ở vị trí đồng vị}$

$\text{⇒ BC // MN (DHNB)}$

$\text{d) Có: I là giao điểm AD và MN (gt)}$

$\text{mà AD là đg trung trực ΔAMN (cmt)}$

$\text{⇒ I là trung điểm MN}$

$\text{Xét ΔAMN có:}$

$\text{I là trung điểm MN (cmt)}$

$\text{IE // AM (gt)}$

$\text{⇒ E là trung điểm AN}$

$\text{⇒ IE là đường trung bình ΔAMN (DHNB)}$

$\text{⇒ IE = $\dfrac{1}{2}$AM}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a, Xét ΔAHD vuông tại H và ΔAKD vuông tại K có

AD : chung

^DAB = ^DAC (gt)

⇒ ΔAHD = ΔAKD (ch-gn)

⇒ AH = AK ( 2 cạnh t/ứ)
b, Xét ΔDHM vuông tại H và ΔDKN vuông tại K có

DH = DK (do ΔAHD = ΔAKD)

^HDM = ^KDN (đối đỉnh)

⇒ ΔDHM = ΔDKN (cgv - góc nhọn kề)
⇒ HM = KN ( 2 cạnh t/ứ)

c, Ta có :

$\left \{ {{HM=KN(cmt)} \atop {AH=AK(cmt)}} \right.$ 

⇒ HM + AH = KN + AK

⇒ AM = AN 

⇒ Δ AMN cân tại A

Xét ΔAMN cân tại A có AD là pg

⇒ AD là đường trung trực ΔAMN (t/c tam giác cân)

⇒ AD ⊥ MN

Xét ΔABC cân tại A

⇒ ^ABC = (180 - ^BAC)/2 (t/c tam giác cân)
Lại có ^AMN = (180 - ^BAC)/2 (ΔAMN cân tại A)
⇒ ^ABC = ^AMN

Mà 2 góc này đồng vị

⇒ BC // MN

d, Ta có AD là đường trung trực của MN (cmt) ; AD cắt MN tại I

⇒ I là trđ MN

Xét ΔAMN có 

$\left \{ {{I-là-trđ-MN} \atop {IE//AM(E-thuộc-AN)}} \right.$

⇒ IE là đường trung bình của ΔAMN

⇒ IE = 1/2AM