Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
- Sử dụng: \(b = c > 0 \Leftrightarrow {\log _a}b = {\log _a}c\,\,\,\left( {0 < a
e 1} \right)\).
- Lấy logarit 2 vế để hạ bậc, đưa \(x\) về dưới dạng thừa số.
- Sử dụng điều kiện \(x < 1\) để giải bài toán.
Giải chi tiết:Do \(1 < a < b < 100\) nên ta có:
\(\begin{array}{l}{a^{{b^x}}} = {b^{{a^x}}} > 0\\ \Leftrightarrow {\log _a}{a^{{b^x}}} = {\log _a}{b^{{a^x}}}\\ \Leftrightarrow {b^x}.{\log _a}a = {a^x}{\log _a}b\\ \Leftrightarrow {b^x} = {a^x}.{\log _a}b\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^x} = {\log _a}b\\ \Leftrightarrow x = {\log _{\dfrac{b}{a}}}\left( {{{\log }_a}b} \right)\end{array}\)
Phương trình đã cho có nghiệm nhỏ hơn 1 nên ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _{\dfrac{b}{a}}}\left( {{{\log }_a}b} \right) < 1 \Leftrightarrow {\log _a}b < \dfrac{b}{a}\,\,\,\left( {Do\,\,a < b \Rightarrow \dfrac{b}{a} > 1} \right)\\ \Leftrightarrow b < {a^{\dfrac{b}{a}}} \Leftrightarrow {b^a} < {\left( {{a^{\dfrac{b}{a}}}} \right)^a}\,\,\,\left( {Do\,\,a > 1} \right)\\ \Leftrightarrow {b^a} < {a^b}\\ \Leftrightarrow {\log _a}{b^a} < {\log _a}{a^b}\,\,\,\left( {Do\,\,a > 1} \right)\\ \Leftrightarrow a.{\log _a}b < b\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Đặt \({\log _a}b = t \Rightarrow b = {a^t}\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow a.t < {a^t}\) với \(b > a > 1 \Rightarrow t > 1.\)
Do \(1 < a < b < 100;\,\,a,b \in \mathbb{Z}\) nên ta có:
+) Với \(a = 2\) thì \({2^t} > 2t \Leftrightarrow {2^t} - 2t > 0\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} - 2t\) ta có: \(f'\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 - 2 > 0\)
BBT của hàm số \(f\left( t \right)\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) như sau:
Từ BBT trên ta thấy \(f\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow t > 2 \Leftrightarrow b > {2^t} = 4\)
Mà \(b \in \mathbb{Z};\,\,b < 100 \Rightarrow b \in \left\{ {5;6;7;8;....;99} \right\}\), có 95 số thỏa mãn.
+) Với \(a \ge 3\), xét hàm số \(f\left( t \right) = {a^t} - at\) ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = {a^t}.\ln a - a\\a \ge 3 \Rightarrow \ln a > 1 \Rightarrow f'\left( t \right) = {a^t}.\ln a - a > {a^t} - a > 0,\,\,\,\forall a \ge 3,\,\,t > 1\end{array}\)
Do đó, hàm số luôn đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Mặt khác, \(f\left( 1 \right) = {a^1} - a.1 = 0\) nên \(f\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow t > 1\)
Suy ra \(a = 3 \Rightarrow b > 3 \Rightarrow b \in \left\{ {4;5;6;....;99} \right\}\), có 96 số thỏa mãn.
\(a = 4 \Rightarrow b > 4 \Rightarrow b \in \left\{ {5;6;7;8;....;99} \right\}\); có 95 số thỏa mãn.
\(a = 5 \Rightarrow b > 5 \Rightarrow b \in \left\{ {6;7;8;9;...;99} \right\}\) có 94 số thỏa mãn.
……..
\(a = 98 \Rightarrow b > 98 \Rightarrow b = 99\), có 1 số thỏa mãn,
\(a = 99 \Rightarrow b = 100\left( L \right)\)
Vậy số các cặp số \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
\(95 + \left( {96 + 95 + 94 + .... + 1} \right) = 95 + \dfrac{{97.96}}{2} = 4751.\)
Chọn A.
