Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\).
- Để hàm số \(f\left( x \right) = 3x + m\sqrt {{x^2} + 1} \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
- Chia TH của \(x\), cô lập \(m\).
- Giải các bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}m \ge f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Rightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\\m \le f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\end{array} \right.\).Giải chi tiết:TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có \(f\left( x \right) = 3x + m\sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow f'\left( x \right) = 3 + \dfrac{{mx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
Để hàm số \(f\left( x \right) = 3x + m\sqrt {{x^2} + 1} \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3 + \dfrac{{mx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \dfrac{{3\sqrt {{x^2} + 1}  + mx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 1}  + mx \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow mx \ge  - 3\sqrt {{x^2} + 1} \,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)
TH1: \(x = 0 \Rightarrow 0 \ge  - 3\) (luôn đúng).
TH2: \(x > 0 \Rightarrow m \ge \dfrac{{ - 3\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = f\left( x \right)\) \( \Rightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).
TH2: \(x < 0 \Rightarrow m \le \dfrac{{ - 3\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = f\left( x \right)\) \( \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;0} \right)} f\left( x \right)\,\,\,\left( 2 \right)\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) =  - \dfrac{{3\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\,\,\left( {x \ne 0} \right)\) ta có \(f'\left( x \right) = \dfrac{{\dfrac{{ - 3x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}x + 3\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^2}}} = \dfrac{3}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 1} }} > 0\,\,\forall x \ne 0\).
BBT:

Dựa vào BBT ta thấy \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m \ge  - 3,\,\,\left( 2 \right) \Leftrightarrow m \le 3\) \( \Rightarrow  - 3 \le m \le 3\).
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\).
Vậy có 7 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn C.