Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 4y - 1 > 0\\1 - 2y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 4y > 1\\y < \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Ta có :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{e^{3x + y}} - {e^{2x - 2y + 1}} = 1 - x - 3y\\ \Leftrightarrow {e^{3x + y}} - {e^{2x - 2y + 1}} = \left( {2x - 2y + 1} \right) - \left( {3x + y} \right)\\ \Leftrightarrow {e^{3x + y}} + \left( {3x + y} \right) = {e^{2x - 2y + 1}} + \left( {2x - 2y + 1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Xét hàm số đặc trưng : \(f\left( t \right) = {e^t} + t\) trên \(\mathbb{R}\) ta có: \(f'\left( t \right) = {e^t} + 1 > 0,\,\,\,\forall t \in \mathbb{R}.\)
Do đó, hàm số \(f\left( t \right)\) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Mà theo (1) ta có \(f\left( {3x + y} \right) = f\left( {2x - 2y + 1} \right)\).
\( \Leftrightarrow 3x + y = 2x - 2y + 1 \Leftrightarrow x = 1 - 3y\).
Theo bài ra ta có: \(x + y > 1 \Leftrightarrow 1 - 3y + y > 1 \Leftrightarrow y < 0 \Leftrightarrow x > 1\).
Thay \(x = 1 - 3y\) vào bất phương trình \(\log _3^2\left( {2x + 4y - 1} \right) + 2\left( {m - 1} \right){\log _3}\left( {1 - 2y} \right) + {m^2} - 9 > 0\) ta được:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\log _3^2\left( {2\left( {1 - 3y} \right) + 4y - 1} \right) + 2\left( {m - 1} \right){\log _3}\left( {1 - 2y} \right) + {m^2} - 9 > 0\\ \Leftrightarrow \log _3^2\left( {1 - 2y} \right) + 2\left( {m - 1} \right){\log _3}\left( {1 - 2y} \right) + {m^2} - 9 > 0\end{array}\)
Đặt \(t = {\log _3}\left( {1 - 2y} \right)\). Do \(1 - 2y > 1 \Rightarrow t = {\log _3}\left( {1 - 2y} \right) > 0\).
Khi đó, bất phương trình trở thành \(f\left( t \right) = {t^2} + 2\left( {m - 1} \right)t + {m^2} - 9 > 0,\,\,\,\forall t > 0\).
TH1: \(f\left( t \right) > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \Delta ' < 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - {m^2} + 9 < 0\) \(10 - 2m < 0 \Leftrightarrow m > 5\).
TH2: Phương trình \(f\left( t \right) = 0\) có hai nghiệm \({t_1},\,\,{t_2}\) thỏa mãn \({t_1} \le {t_2} \le 0\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\{t_1} + {t_2} \le 0\\{t_1}{t_2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - {m^2} + 9 \ge 0\\ - \left( {m - 1} \right) \le 0\\{m^2} - 9 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 5\\m \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 3\\m \le - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le m \le 5\).
Kết hợp 2 trường hợp ta có \(m \ge 3\).
Mặt khác \(m\) là số nguyên thuộc khoảng \(\left( { - 20;20} \right)\) nên \(m \in \left\{ {3;4;5;....;18;19} \right\}\)là các giá trị của \(m\) thỏa mãn.
Vậy có tất cả 17 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.
Chọn B.
