Cho đường tròn (O;R). Từ A nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của BC.
1) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, O cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng. Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Vẽ CK vuông góc với BD. Chứng minh AC.CD = CK. AO
3) Gọi giao điểm của AO với đường tròn tâm (O) là N. Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
A.
B.
C.
D.

Chứng minh rằng: \(\frac{a+b}{\sqrt{a\left( 3a+b \right)}+\sqrt{b\left( 3b+a \right)}}\ge \frac{1}{2}\) với a, b là các số dương.
A.
B.
C.
D.

Cho đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y=\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+m-2\), với m là tham số.
a) Khi \(m=1,\) tính diện tích tam giác tạo bởi đường thẳng (d) và hai trục tọa độ.
b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng \(y=2x-3.\)
c) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác AOB vuông cân.
A.
B.
C.
D.

a) Giải phương trình: \(\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x-2}=1.\)
b) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: \(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=\sqrt{2}\left( x+y \right).\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=x+y.\)
A.
B.
C.
D.

a) Giải phương trình sau: \(\sqrt{4{{x}^{2}}-4x+1}=\left| x-2 \right|\)
b) Thu gọn biểu thức sau: \(A=\frac{5+\sqrt{5}}{\sqrt{5}+2}+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}-\frac{3\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}\)
A.
B.
C.
D.

Cho parabol (P): \(y=-\frac{{{x}^{2}}}{3}\) và đường thẳng (d): \(y=-\frac{4}{3}x-4\)
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ
b) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) với trục hoành và trục tung. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng AB?
A.
B.
C.
D.

Xe đạp là một trong những phát minh quan trọng của con người. Nhiều bộ phận trong xe đạp có dạng hình tròn, nhờ vậy xe đạp bền dàng chắc và dễ dàng di chuyển. Bộ phận truyền động của xe đạp được minh họa như hình vẽ bên dưới.
Em hãy tính độ dài của đoạn dây xích (dây sơn) AB trên hình, biết AB là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (O’), OA = 15cm, O’B = 5cm, OO’ = 40cm (A, B là các tiếp điểm)
A.
B.
C.
D.

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua AD và BC .
a) Chứng minh rằng các tứ giác AODE,BOCF là hình vuông
b) Nối EC cắt DF tại I. Chứng minh rằng \(OI\bot CD\)
c) Biết diện tích hình lục giác ABFCDE = 6 .Tính độ dài các cạnh của hình vuông ABCD
d) (Dành cho lớp 8a) Lấy K là 1 điểm bất kì trên BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác AIK.Chứng minh G thuộc 1 đường thẳng cố định khi K di chuyển trên BC
A.
B.
C.
D.

Cho 3 số a,b,c đôi 1 khác nhau.Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào a,b ,c:
\(P=\frac{{{a}^{2}}}{(a-b)(a-c)}+\frac{{{b}^{2}}}{(b-a)(b-c)}+\frac{{{c}^{2}}}{(c-a)(c-b)}\).
A.
B.
C.
D.

Ba lớp 7A, 7B và 7C đi lao động và được phân công khối lượng công việc như nhau. Lớp 7A hoàn thành công việc trong \(3\) giờ, lớp 7B hoàn thành công việc trong \(4\) giờ và lớp 7C hoàn thành công việc trong \(5\) giờ. Tính số học sinh của mỗi lớp, biết rằng tổng số học sinh của ba lớp là \(94\) học sinh (giả sử năng suất làm việc của mỗi học sinh đều như nhau).
A.
B.
C.
D.