Đáp án:
$\min P=10\sqrt2 \Leftrightarrow (a;b;c)=(3;2;1)$
Giải thích các bước giải:
$P =\sqrt{9 + a^2} + 2\sqrt{4 + b^2} + 3\sqrt{1+ c^2}$
$\to P =\sqrt{3^2 + a^2} +\sqrt{4^2 + (2b)^2} +\sqrt{3^2 + (3c)^2}$
Áp dụng bất đẳng thức $Minkowski$ ta được:
$P \geq \sqrt{(3 + 4 + 3)^2 + (a + 2b + 3c)^2}$
$\to P \geq \sqrt{10^2 + 10^2}$
$\to P \geq 10\sqrt2$
Dấu $=$ xảy ra
$\Leftrightarrow \begin{cases}\dfrac 3a =\dfrac{4}{2b}=\dfrac{3}{3c}\\a+ 2b + 3c = 10\end{cases}$
$\Leftrightarrow \dfrac 3a =\dfrac{4}{2b}=\dfrac{3}{3c} =\dfrac{3 + 4 + 3}{a + 2b + 3c}=\dfrac{10}{10}=1$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a = 3\\b = 2\\c = 1\end{cases}$
Vậy $\min P=10\sqrt2 \Leftrightarrow (a;b;c)=(3;2;1)$
