Xét các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(2\left( {{x^2} + {y^2} + 4} \right) + {\log _2}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{y}} \right) = \dfrac{1}{2}{\left( {xy - 4} \right)^2}\). Khi \(x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(\dfrac{x}{y}\) bằng:A.\(2\)B.\(4\)C.\(\dfrac{1}{2}\)D.\(\df

222980012141462

2 năm trước

Xét các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(2\left( {{x^2} + {y^2} + 4} \right) + {\log _2}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{y}} \right) = \dfrac{1}{2}{\left( {xy - 4} \right)^2}\). Khi \(x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(\dfrac{x}{y}\) bằng:
A.\(2\)
B.\(4\)
C.\(\dfrac{1}{2}\)
D.\(\dfrac{1}{4}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 9 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

wooyouog2310

Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:
- Biến đổi, xét hàm đặc trưng.
- Rút một ẩn theo ẩn còn lại, thế vào biểu thức \(x + 4y\).
- Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số và lập BBT để tìm GTNN của biểu thức.
Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}2\left( {{x^2} + {y^2} + 4} \right) + {\log _2}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{y}} \right) = \dfrac{1}{2}{\left( {xy - 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} + 4} \right) + {\log _2}\dfrac{{2\left( {x + y} \right)}}{{xy}} = \dfrac{1}{2}{\left( {xy - 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} + 4} \right) + {\log _2}\left[ {2\left( {x + y} \right)} \right] = {\log _2}\left( {xy} \right) + \dfrac{1}{2}{\left( {xy - 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} + 4} \right) + {\log _2}\left[ {2\left( {x + y} \right)} \right] = {\log _2}\left( {xy} \right) + \dfrac{1}{2}{\left( {xy} \right)^2} - 4xy + 8\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy} \right) + {\log _2}\left[ {2\left( {x + y} \right)} \right] = {\log _2}\left( {xy} \right) + \dfrac{1}{2}{\left( {xy} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\left( {2x + 2y} \right)^2} + {\log _2}\left( {2x + 2y} \right) = \dfrac{1}{2}{\left( {xy} \right)^2} + {\log _2}\left( {xy} \right)\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{1}{2}{t^2} + {\log _2}t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = t + \dfrac{1}{{t\ln 2}} > 0\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Mặt khác theo (*) ta có \(f\left( {2x + 2y} \right) = f\left( {xy} \right) \Leftrightarrow 2x + 2y = xy\) \( \Leftrightarrow 2x - xy = - 2y \Leftrightarrow x\left( {2 - y} \right) = - 2y\).
Nếu \(y \le 2\) thì \(2 - y \ge 0\) \( \Rightarrow x\left( {2 - y} \right) \ge 0\). Mà \(y > 0 \Rightarrow - 2y < 0\) (Vô lí).
\( \Rightarrow y > 2 \Rightarrow 2 - y < 0\), khi đó ta có \(x = \dfrac{{ - 2y}}{{2 - y}}\,\,\left( {y > 2} \right)\).
Đặt \(P = x + 4y = \dfrac{{ - 2y}}{{2 - y}} + 4y = \dfrac{{6y - 4{y^2}}}{{2 - y}}\,\,\left( {y > 2} \right)\).
\(\begin{array}{l}P' = \dfrac{{\left( {6 - 8y} \right)\left( {2 - y} \right) - \left( {6y - 4{y^2}} \right).\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {2 - y} \right)}^2}}}\\P' = \dfrac{{12 - 22y + 8{y^2} + 6y - 4{y^2}}}{{{{\left( {2 - y} \right)}^2}}}\\P' = \dfrac{{4{y^2} - 16y + 12}}{{{{\left( {2 - y} \right)}^2}}}\\P' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 3\\y = 1\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:

Từ BBT ta thấy hàm số đạt GTNN tại \(y = 3 \Rightarrow x = 6\).
Vậy \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{6}{3} = 2\).
Chọn A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây.
Hàm số đó là hàm số nào?
A.\(y = {x^4} - 5{x^2} + 2\).
B.\(y = {x^3} + 3{x^2} + 2\).
C.\(y = - {x^4} + 5{x^2} + 2\).
D.\(y = {x^4} + 5{x^2} + 2\).

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình \({z^2} + 2mz + 3m + 4 = 0\) có hai nghiệm không phải là số thực?
A.\(3\)
B.\(4\)
C.\(5\)
D.\(6\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + x} \right),\,\,x \in \mathbb{R}\). Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
A.\(6\)
B.\(5\)
C.\(3\)
D.\(4\)

Trong lịch sử phát triển của sinh giới qua các đại địa chất, chim và thú phát sinh ở đại nào?
A.Đại Tân sinh
B.Đại Trung sinh
C.Đại Cổ sinh
D.Đại Nguyên sinh

Quần thể sinh vật có đặc trưng nào sau đây?
A.Số lượng loài
B.Thành phần loài.
C.Kích thước quần thể
D.Quan hệ cạnh tranh khác loài.

Tập hợp sinh vật nào dưới đây được xem là một quần thể giao phối?
A.Những cây cọ sống cùng trên một quả đồi ở Phú Thọ.
B.Những con gà trống và gà mái nhốt ở một góc chợ.
C.Những con ong thợ lấy mật ở một vườn hoa.
D.Những con cá sống trong cùng một cái hồ.

Trong sản xuất nông nghiệp để tăng hàm lượng nitơ trong đất, bà con nông dân thường sử dụng hiểu biết về mối quan hệ nào sau đây?
A.Giữa tảo và nấm sợi tạo địa y.
B.Giữa rêu và cây lúa.
C.Vi khuẩn sống trong dạ cỏ trâu, bò
D.Giữa vi khuẩn tạo nốt sần và rễ cây họ Đậu.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AC = a, I là trung điểm SC. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là trung điểm của BC. Mặt phẳng (SAB) tạo với (ABC) một góc \({60^0}\). Tính khoảng cách từ I đến (SAB)?
A.\(\dfrac{{\sqrt 3 a}}{4}\)
B.\(\dfrac{{\sqrt 3 a}}{5}\)
C.\(\dfrac{{\sqrt 5 a}}{4}\)
D.\(\dfrac{{\sqrt 2 a}}{3}\)

Quần xã sinh vật càng có độ đa dạng loài cao, mối quan hệ sinh thái càng chặt chẽ thì
A.có cấu trúc càng ổn định vì lưới thức ăn phức tạp, một loài có thể dùng nhiều loài khác làm thức ăn.
B.dễ dàng xảy ra diễn thế do tác động của nhiều loài trong quần xã làm cho môi trường thay đổi nhanh.
C.có cấu trúc càng ít ổn định vì có số lượng lớn loài ăn thực vật làm cho các quần thể thực vật biến mất dần.
D.có xu hướng biến đổi làm cho độ đa dạng thấp và từ đó mối quan hệ sinh thái lỏng lẻo hơn vì thức ăn trong môi trường cạn kiệt dần.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = BC = AA’ = a, \(\angle ABC = {120^0}\). Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
A.\(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\)
B.\(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\)
C.\(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\)
D.\(\dfrac{{{a^3}}}{2}\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến