$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} 1.\ AN,\ CK\ là\ đường\ cao\ của\ tam\ giác\ ABC\ nên\ \\ \widehat{HKB} =\widehat{HNB} =90^{o}\\ \Rightarrow BKHN\ nội\ tiếp\ đường\ tròn\ đường\ kính\ HB\ có\ \\ tâm\ I\ là\ trung\ điểm\ của\ HB.\\ 2.BH\cap AC=,\ có\ H\ là\ trực\ tâm\ \Delta ABC\\ \Rightarrow BD\bot AC\Rightarrow \widehat{BDA} =90^{0}\\ Xét\ \Delta ADB\ có:\ \widehat{ABD} +\widehat{BDA} +\widehat{DAB} =180^{o}\\ \Rightarrow \ \widehat{ABD} =90^{o} -\widehat{BAC} \ ( 1)\\ Xét\ \Delta AKC\ có:\ \widehat{AKC} +\widehat{KCA} +\widehat{KAC} =180^{o}\\ \Rightarrow \widehat{KCA} =90^{0} -\widehat{BAC} \ ( 2)\\ Từ\ ( 1)( 2) \Rightarrow \widehat{KBH} =\widehat{KAC} \ ( *)\\ 3.\ Xét\ \Delta AKC\ vuông\ tại\ K\ có\ trung\ tuyến\ KE\\ nên\ KE=\ EC\Rightarrow \Delta KEC\ cân\ tại\ \\ \Rightarrow \widehat{KEC} =\widehat{CEK} \ ( **)\\ Xét\ \Delta KIB\ cân\ tại\ I\ có\ \ \widehat{IBK} =\widehat{IKB} \ kết\ hợp\ ( *) \ ( **)\\ ta\ có\ \widehat{IKB} =\widehat{HKE}\\ \Rightarrow \widehat{IKB} +\widehat{IKH} =\widehat{HKE} +\widehat{IKH}\\ \Rightarrow \widehat{BKH} =\widehat{IKE}\\ \Rightarrow KE\ là\ tiếp\ tuyến\ của\ đường\ tròn.\\ 4.\ Ta\ có:\widehat{GCB} =90^{0} \ ( góc\ nội\ tiếp\ chắn\ nửa\ đường\ tròn)\\ \Rightarrow GC\bot \ mà\ AN\bot BC\Rightarrow AH//GC\\ Chứng\ minh\ tương\ tự\ ta\ được\ AG//CH\\ Từ\ 2\ điểm\ trên\ ta\ được\ tứ\ giác\ AHCG\ là\ hình\ bình\ \\ mà\ E\ là\ trung\ điểm\ của\ \ nên\ E\ cũng\ là\ trung\ điểm\ của\ H\\ \Rightarrow H,E,G\ thẳng\ hàng\ ( 3)\\ \widehat{BMH} =90^{o} ;\ \widehat{BMG} =90^{o} \Rightarrow M,\ H,G\ thẳng\ hàng\ ( 4)\\ Từ\ ( 3)( 4) \Rightarrow M,E,G\ thẳng\ hàng\\ Vậy\ BE\bot BM \end{array}$
